[论文解读] Pseudomomentum: origins and consequences

H. Singh, J. A. Hanna|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用 4

一句话总结

本文通过同时对空间位置、时间及物质标签变分，建立了一个统一的变分框架，用于推导连续介质力学中动量、能量和伪动量的平衡律。它表明，伪动量平衡是流体和弹性结构中关键守恒律（包括涡度、环量和螺旋度）的基础，并可通过路径无关积分直接计算受限弹性杆的推进力。

ABSTRACT

The balance of pseudomomentum is discussed and applied to simple elasticity, ideal fluids, and the mechanics of inextensible rods and sheets. A general framework is presented in which the simultaneous variation of an action with respect to position, time, and material labels yields bulk balance laws and jump conditions for momentum, energy, and pseudomomentum. The example of simple elasticity of space-filling solids is treated at length. The pseudomomentum balance in ideal fluids is shown to imply conservation of vorticity, circulation, and helicity, and a mathematical similarity is noted between the evaluation of circulation along a material loop and the J-integral of fracture mechanics. Integration of the pseudomomentum balance, making use of a prescription for singular sources derived by analogy with the continuous form of the balance, directly provides the propulsive force driving passive reconfiguration or locomotion of confined, inhomogeneous elastic rods. The conserved angular momentum and pseudomomentum are identified in the classification of conical sheets with rotational inertia or bending energy.

研究动机与目标

• 通过同时对空间坐标、时间和物质标签变分，统一推导动量、能量和伪动量平衡律。
• 阐明在作用量原理支配的保守力学系统中，伪动量的物理起源及其后果。
• 证明理想流体中伪动量平衡意味着涡度、环量和螺旋度的守恒，并与断裂力学中的J积分存在数学类比。
• 表明对伪动量平衡进行积分可得出受限非均匀弹性杆被动重构中的推进力。
• 识别具有转动惯量或弯曲能的锥形薄片中的守恒角动量和伪动量。

提出的方法

• 通过相对于空间位置、时间及物质坐标变分，推导体积累分律与跳跃条件，从而获得动量、能量和伪动量的平衡。
• 使用依赖于物质坐标 $\bar{\mathbf{x}}$、空间位置 $\mathbf{x}$、速度 $d_t\mathbf{x}$ 和形变梯度 $\mathbf{F}$ 的拉格朗日密度 $\bar{\mathcal{L}}$。
• 对 $\bar{\mathcal{L}}$ 的参考系梯度应用链式法则，将伪动量平衡表达为 $\partial\bar{\mathcal{L}}/\partial\mathbf{F}$、$\partial\bar{\mathcal{L}}/\partial d_t\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{F}$ 的形式。
• 将爱德华森张量定义为 $\left[\frac{\partial\bar{\mathcal{L}}}{\partial\mathbf{F}}\right]^T \cdot \mathbf{F} - \bar{\mathcal{L}} \mathbf{I}$，即伪动量的参考系通量。
• 将平衡律应用于具体系统：简单弹性体、理想流体、不可伸长杆与薄片，以及具有弯曲能或转动惯量的锥形结构。
• 利用路径无关积分和不连续面上的跳跃条件，计算力与守恒量，包括环量评估中的J积分类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 同时对空间、时间与物质坐标变分，如何一致地导出动量、能量与伪动量的平衡律？
• RQ2 伪动量在理想流体中涡度、环量与螺旋度守恒中起什么作用？
• RQ3 如何通过对伪动量平衡进行积分，计算受限弹性杆被动运动中的推进力？
• RQ4 具有转动惯量或弯曲能的锥形薄片中，会涌现出哪些守恒量？它们与伪动量有何关系？
• RQ5 爱德华森张量如何从变分框架中导出？其物理意义作为伪动量的参考系通量是什么？

主要发现

• 理想流体中伪动量平衡直接蕴含涡度、环量与螺旋度的守恒，且环量评估在数学上类比于断裂力学中的J积分。
• 通过使用从连续形式导出的奇异源处理方法，对伪动量平衡进行积分，可得出驱动受限非均匀弹性杆被动重构的推进力。
• 爱德华森张量定义为 $\left[\frac{\partial\bar{\mathcal{L}}}{\partial\mathbf{F}}\right]^T \cdot \mathbf{F} - \bar{\mathcal{L}} \mathbf{I}$，作为平衡律中伪动量的参考系通量自然出现。
• 在具有转动惯量或弯曲能的锥形薄片中，角动量与伪动量均守恒，且其分类通过变分框架得以澄清。
• 动量、能量与伪动量的平衡律均源于单一变分原理，材料不连续面上的跳跃条件确保了界面处的一致性。
• 该框架通过表明伪动量源于对物质坐标的变分（独立于空间动量平衡）解决了关于伪动量解释的矛盾。