[论文解读] Pseudorandomness for Multilinear Read-Once Algebraic Branching Programs, in any Order

Michael A. Forbes, Ramprasad Saptharishi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文提出首个针对多线性只读一次有偏置代数分支程序（ROABPs）的次指数时间确定性黑盒多项式恒等测试算法，运行时间为 n^(lg² n)，且与变量顺序无关。通过利用秩浓缩器和改进的 Wronskian 方法，该算法在 ROABPs 和对角电路中均实现此目标，推广了先前结果，并首次为对角电路提供了 n^(lglg n)-时间算法。

ABSTRACT

We give deterministic black-box polynomial identity testing algorithms for multilinear read-once oblivious algebraic branching programs (ROABPs), in n^(lg^2 n) time. Further, our algorithm is oblivious to the order of the variables. This is the first sub-exponential time algorithm for this model. Furthermore, our result has no known analogue in the model of read-once oblivious boolean branching programs with unknown order, as despite recent work there is no known pseudorandom generator for this model with sub-polynomial seed-length (for unbounded-width branching programs). This result extends and generalizes the result of Forbes and Shpilka that obtained a n^(lg n)-time algorithm when given the order. We also extend and strengthen the work of Agrawal, Saha and Saxena that gave a black-box algorithm running in time exp((lg n)^d) for set-multilinear formulas of depth d. We note that the model of multilinear ROABPs contains the model of set-multilinear algebraic branching programs, which itself contains the model of set-multilinear formulas of arbitrary depth. We obtain our results by recasting, and improving upon, the ideas of Agrawal, Saha and Saxena. We phrase the ideas in terms of rank condensers and Wronskians, and show that our results improve upon the classical multivariate Wronskian, which may be of independent interest. In addition, we give the first n^(lglg n) black-box polynomial identity testing algorithm for the so called model of diagonal circuits. This model, introduced by Saxena has recently found applications in the work of Mulmuley, as well as in the work of Gupta, Kamath, Kayal, Saptharishi. Previously work had given n^(lg n)-time algorithms for this class. More generally, our result holds for any model computing polynomials whose partial derivatives (of all orders) span a low dimensional linear space.

研究动机与目标

• 开发一种针对多线性 ROABPs 的高效且与变量顺序无关的确定性黑盒多项式恒等测试（PIT）算法。
• 通过实现次指数时间复杂度，扩展先前关于集合多线性公式和 ROABPs 的研究工作。
• 为对角电路提供首个 n^(lglg n)-时间黑盒 PIT 算法，优于此前的 n^(lg n)-时间界限。
• 通过利用秩浓缩器和基于 Wronskian 的方法，推广并强化 Agrawal、Saha 和 Saxena 的框架。
• 识别并分析更广泛的多项式类——即其偏导数张成的空间维度较低的多项式——其中此类 PIT 算法适用。

提出的方法

• 使用秩浓缩器重新表述 PIT 问题，以降低偏导数空间的维度。
• 引入经典多元 Wronskian 的改进变体，以捕捉导数空间中的代数依赖关系。
• 利用基于 Wronskian 的方法构造一个对所有变量顺序均有效的命中集，从而实现顺序无关性。
• 将改进的 Wronskian 构造应用于对角电路，得到更紧致的时间界限 n^(lglg n)。
• 建立一个通用框架：任何偏导数（所有阶）张成低维线性空间的多项式族均可实现高效的黑盒 PIT。
• 利用多线性 ROABPs 的结构特性，界定导数空间的秩，并应用秩浓缩器以实现次指数时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种针对多线性 ROABPs 的黑盒 PIT 算法，使其与变量顺序无关，同时实现次指数时间？
• RQ2 能否改进基于 Wronskian 的方法，以获得对角电路和 ROABPs 更优的时间界限？
• RQ3 使高效黑盒 PIT 成为可能的多项式最小结构条件是什么？其与偏导数空间的关系如何？
• RQ4 Agrawal、Saha 和 Saxena 的技术能否被推广并强化，以覆盖更广泛的代数电路类别？
• RQ5 是否存在针对多线性 ROABPs 的伪随机生成器，其种子长度为次多项式？这与当前算法方法有何关联？

主要发现

• 本文提出一种针对多线性 ROABPs 的确定性黑盒 PIT 算法，运行时间为 n^(lg² n)，为次指数时间且具有顺序无关性。
• 这是首个针对多线性 ROABPs 的此类算法，无需依赖变量顺序信息。
• 该算法在对角电路中实现了 n^(lglg n) 的时间界限，优于此前的 n^(lg n)-时间界限。
• 该框架可推广至任意偏导数（所有阶）张成低维线性空间的多项式族。
• 改进的 Wronskian 构造提供了强于经典多元 Wronskian 的代数工具，具有潜在独立应用价值。
• 结果表明代数分支程序模型与布尔分支程序模型之间存在分离：后者尚无已知的次多项式种子长度伪随机生成器。