[论文解读] Pseudorandomness via the discrete Fourier transform

Parikshit Gopalan, Daniel M. Kane+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型伪随机生成器（PRG），可欺骗傅里叶形状——即定义为有界复值函数乘积的函数——并使用近乎对数的种子长度，具体为 $ O(\text{polyloglog}(n/\varepsilon) \times \log(n/\varepsilon)) $。该构造通过利用离散傅里叶分析和一种新型分析框架，统一并改进了先前的工作，实现了针对包括半空间、模测试和一般定义域上的组合形状在内的函数类的首个无条件PRG，其种子长度几乎达到最优。

ABSTRACT

We present a new approach to constructing unconditional pseudorandom generators against classes of functions that involve computing a linear function of the inputs. We give an explicit construction of a pseudorandom generator that fools the discrete Fourier transforms of linear functions with seed-length that is nearly logarithmic (up to polyloglog factors) in the input size and the desired error parameter. Our result gives a single pseudorandom generator that fools several important classes of tests computable in logspace that have been considered in the literature, including halfspaces (over general domains), modular tests and combinatorial shapes. For all these classes, our generator is the first that achieves near logarithmic seed-length in both the input length and the error parameter. Getting such a seed-length is a natural challenge in its own right, which needs to be overcome in order to derandomize RL - a central question in complexity theory. Our construction combines ideas from a large body of prior work, ranging from a classical construction of [NN93] to the recent gradually increasing independence paradigm of [KMN11, CRSW13, GMRTV12], while also introducing some novel analytic machinery which might find other applications.

研究动机与目标

• 为涉及输入线性组合的函数类构造一个无条件的伪随机生成器，其种子长度接近最优。
• 在基于离散傅里叶变换的统一框架下，统一并推广先前关于欺骗半空间、模测试和组合形状的研究工作。
• 克服长期存在的 $ O(\text{log}^2 n) $ 种子长度障碍，特别是在解决 $ \mathsf{RL} = \mathsf{L} $ 问题方面。
• 开发一种新型分析工具，其应用可能超越伪随机性，延伸至复杂性与概率论中的其他问题。

提出的方法

• 作者将傅里叶形状定义为函数 $ f(x_1,\dots,x_n) = \prod_{j=1}^n f_j(x_j) $，其中 $ f_j: [m] \to \mathbb{C}_1 $，从而推广了半空间和模测试等类。
• 他们将欺骗此类函数的问题简化为控制均匀分布与伪随机分布的傅里叶变换之间的 $ L^1 $-距离。
• 核心技术结合了逐步增加独立性的范式与一种基于有界矩和傅里叶集中性的新型分析框架。
• 他们利用离散傅里叶变换将线性函数 $ w(x) = \sum w_j x_j $ 表示为 $ \phi_\alpha(w(x)) = \exp(2\pi i \alpha w(x)) $，这些函数本身也是傅里叶形状。
• 该生成器通过经典构造（如 [NN93]）与近期基于独立性的PRG框架（如 [KMN11, CRSW13, GMR+12]）的混合方式构建。
• 一个关键创新是使用傅里叶变换的有界矩条件来控制统计距离，从而实现近乎对数的种子长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个单一的伪随机生成器，以近乎对数的种子长度欺骗多种自然的对数空间可计算函数类，包括半空间和模测试？
• RQ2 是否可能在基于离散傅里叶变换的统一框架下，统一分析组合形状和模测试等不同函数类？
• RQ3 能否利用离散傅里叶变换作为工具，构造出种子长度更优的PRG，接近猜想中的最优 $ O(\log(n/\varepsilon)) $？
• RQ4 需要哪些新型分析工具来控制具有有界矩的乘积分布的傅里叶变换，从而实现近乎最优的伪随机性？
• RQ5 该框架能否扩展以实现 $ \mathsf{RL} $ 的去随机化，从而解决核心开放问题 $ \mathsf{RL} = \mathsf{L} $？

主要发现

• 本文构造了一个显式的伪随机生成器，其种子长度为 $ O(\text{polyloglog}(n/\varepsilon) \cdot \log(n/\varepsilon)) $，可欺骗所有 $ (m,n) $-傅里叶形状，对 $ n $ 和 $ \varepsilon $ 的依赖近乎对数。
• 该生成器是首个在一般定义域上对包括半空间、模测试和组合形状在内的多个函数类实现此类种子长度的PRG。
• 该结果意味着在高斯分布下，对半空间的PRG种子长度为 $ O(\log(n/\varepsilon) \cdot (\log\log(n/\varepsilon))^2) $，几乎与目前已知最佳结果一致，仅相差一个 $ \log\log $ 因子。
• 该框架实现了对切尔诺夫不等式的去随机化，种子长度为 $ O(\log(mn/\varepsilon) \cdot (\log\log(mn/\varepsilon))^2) $，优于先前的界限。
• 该构造利用了一种基于有界矩和傅里叶集中的新型分析技术，该技术可能在伪随机性和概率论中具有更广泛的应用。
• 该工作提供了一个统一框架，能够捕捉并改进先前在欺骗半空间、模测试和组合形状方面的研究成果，仅通过一个通用生成器实现。