[论文解读] Pseudorotations of the 2-disc and Reeb flows on the 3-sphere

Peter Albers, Hansjörg Geiges+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文证明了2-盘上的无理伪旋转——即具有唯一不动点且无其他周期轨道的保面积微分同胚——可作为3-球面上Reeb流的Poincaré返回映射，实现在一个类似圆盘的全局横截面上。通过Lerman的接触切割构造，作者表明对于$S^3$上的动态严格凸接触形式，此类流存在且恰好具有两个周期轨道：不动点和横截面边界的轨道。

ABSTRACT

We use Lerman's contact cut construction to find a sufficient condition for Hamiltonian diffeomorphisms of compact surfaces to embed into a closed 3-manifold as Poincaré return maps on a global surface of section for a Reeb flow. In particular, we show that the irrational pseudorotations of the 2-disc constructed by Fayad-Katok embed into the Reeb flow of a dynamically convex contact form on the 3-sphere.

研究动机与目标

• 确定紧致有边曲面的哈密顿微分同胚在何种条件下可作为闭3-流形上Reeb流的Poincaré返回映射。
• 解决将特定保面积微分同胚（特别是无理伪旋转）嵌入$S^3$上Reeb动力学的对偶问题。
• 将接触切割构造扩展至处理边界喷射行为不良的哈密顿微分同胚，如Fayad–Katok的例子。
• 证明与此类伪旋转相关的$S^3$上Reeb流恰好具有两个周期轨道：不动点和横截面边界。
• 确立所得接触形式为动态严格凸，满足全局横截面存在的关键条件。

提出的方法

• 对由生成伪旋转的哈密顿函数$H_s$导出接触形式的乘积流形$S^1 \times D^2$应用Lerman的接触切割构造。
• 将哈密顿函数在边界处的$\infty$-喷射条件作为准则，以确保商流形$S^3$上的Reeb流具有类似圆盘的全局横截面。
• 构造$D^2$到$S^3$的拓扑嵌入，其在内部光滑，像为光滑圆盘，且内部的返回映射与伪旋转一致。
• 通过计算$H_s$在不动点附近的局部行为，验证所得$S^3$上接触结构的标准性与动态严格凸性，方法为计算周期轨道的Conley–Zehnder指标。
• 计算绑定轨道的自旋链数为$\mathtt{sl}(B) = -1$，确认其满足存在类似圆盘的全局横截面的必要拓扑条件。
• 利用由横截面诱导的开书分解，其中绑定为边界，页为Reeb流下横截面的平移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，紧致有边曲面的哈密顿微分同胚可作为闭3-流形上Reeb流的Poincaré返回映射？
• RQ2 Fayad–Katok的无理伪旋转（除原点外无周期点）能否被嵌入$S^3$上的Reeb流中？
• RQ3 当接触切割构造应用于生成无理伪旋转的哈密顿函数时，是否在$S^3$上产生动态严格凸的接触形式？
• RQ4 由此类伪旋转构造的Reeb流中，周期轨道的Conley–Zehnder指标为何？其与生成哈密顿函数局部行为有何关联？
• RQ5 所得开书分解中绑定轨道的自旋链数是否等于$-1$，这正是存在类似圆盘的全局横截面所必需的？

主要发现

• Fayad–Katok的无理伪旋转可作为$S^3$上Reeb流在类似圆盘的全局横截面上的Poincaré返回映射被嵌入。
• 与此类伪旋转相关的$S^3$上Reeb流恰好具有两个简单周期轨道：原点处的不动点和横截面边界。
• 诱导Reeb流的接触形式为动态严格凸，经由Conley–Zehnder指标计算确认：$\mathtt{CZ}(C) = 2m+1$，其中$m \in \mathbb{N}$由$h + a + 1 \in (m, m+1)$确定。
• 绑定轨道的自旋链数为$\mathtt{sl}(B) = -1$，满足存在类似圆盘的全局横截面的必要条件。
• 该构造在$S^3$上产生一个与标准接触结构相容的接触开书分解，其中横截面为页，边界为绑定。
• 该方法可普遍应用于生成哈密顿函数在边界处满足$\infty$-喷射条件的哈密顿微分同胚，从而超越了对良好行为哈密顿函数的限制。