[论文解读] PSL(2,Z) as a non distorted subgroup of Thompson's group T

Ariadna Fossas|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文通过利用具有特定结构特性的约化树对图刻画，确立了 PSL(2,Z) 作为 Thompson 群 T 的一个非扭曲子群。作者使用组合树对图及基于夹子数的度量估计，证明了 PSL(2,Z) 中的字长相对于 T 中的字长呈线性增长，从而确认了非扭曲性，并首次给出了 T 中一个非扭曲的秩为 2 的自由非交换子群的显式例子。

ABSTRACT

In this paper we characterize the elements of PSL(2,Z), as a subgroup of Thompson group T, in the language of reduced tree pair diagrams and in terms of piecewise linear maps as well. Actually, we construct the reduced tree pair diagram for every element of PSL(2,Z) in normal form. This allows us to estimate the length of the elements of PSL(2,Z) through the number of carets of their reduced tree pair diagrams and, as a consequence, to prove that PSL(2,Z) is a non distorted subgroup of T. In particular, we find non-distorted free non abelian subgroups of T.

研究动机与目标

• 通过使用具有特定结构特性的约化树对图，将 PSL(2,Z) 的元素刻画为 Thompson 群 T 的子群。
• 在 PSL(2,Z) 元素的约化树对图与经典生成元（阶为 2 和 3）的规范形式之间建立双射关系。
• 利用其约化树对图中的夹子数量，估计 PSL(2,Z) 元素的字长。
• 证明 PSL(2,Z) 是 Thompson 群 T 的非扭曲子群，从而在 T 中构造出非扭曲的秩为 2 的自由非交换子群。

提出的方法

• 将 Thompson 群 T 的元素表示为树对图 (T1, σ, T2) 的等价类，其中 T1 和 T2 是具有相同叶子数的根二叉树，σ 是叶子的循环置换。
• 通过消除 T1 中暴露的夹子对及其在 T2 中经 σ 映射后的对应夹子，定义约化树对图。
• 引入与分段线性映射 f 相关的 k-良好序列 S(f)，要求 Δx(f) 和 Δy∘(f) 为 k-薄，并对 3 ≤ j ≤ k−2 满足特定分数条件。
• 利用引理：具有 k 个叶子的 k-薄置换和 k-薄树的数量均为 2^{k−2}，从而实现有效配置的计数。
• 通过验证相关树对图满足 T 内 PSL(2,Z) 的定义方程，建立 k-良好序列与 PSL(2,Z) 元素之间的对应关系。
• 利用 T 中字度量的已知结果（Burillo, Cleary, Stein, Taback），将约化图中的夹子数与字长关联，从而证明非扭曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过约化树对图的组合语言，完全刻画 Thompson 群 T 中 PSL(2,Z) 的元素？
• RQ2 PSL(2,Z) 元素的字长与其约化树对图中夹子数之间存在何种关系？
• RQ3 在 T 的度量结构下，PSL(2,Z) 是否作为 Thompson 群 T 的子群是非扭曲的？
• RQ4 T 的分段射影结构能否用于构造非扭曲的秩为 2 的自由非交换子群的显式例子？
• RQ5 PSL(2,Z) 的代数性质（如其交换子群）与其在 T 中的嵌入及扭曲性之间有何关系？

主要发现

• 作为 T 的子群，PSL(2,Z) 的每个元素都具有一个约化树对图，其中每一层恰好包含一个叶子和一个内点。
• 存在一个显式双射，将表示 PSL(2,Z) 元素的约化树对图与经典生成元（阶为 2 和 3）的规范形式对应起来。
• PSL(2,Z) 中元素的字长随其约化树对图中夹子数的线性增长，从而建立了线性等周型界。
• PSL(2,Z) 是 Thompson 群 T 的非扭曲子群，因为 PSL(2,Z) 的内在字度量与 T 的字度量在限制下的拟等距。
• PSL(2,Z) 的交换子群（一个有限指数、秩为 2 的自由非交换子群）继承了在 T 中的非扭曲性，从而首次提供了 T 中非扭曲 F2 子群的显式例子。
• 本文确认了：k-良好序列 S(f)（由 k-薄 Δx(f)、k-薄 Δy∘(f) 及特定分数的存在构成）是 f ∈ PSL(2,Z) 的必要且充分条件。