[论文解读] PT invariant Non-Hermitian Potentials with Real QES Eigenvalues

Avinash Khare, Bhabani Prasad Mandal|ArXiv.org|Apr 5, 2000

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文证明了对于PT对称的非厄米势 $V(x) = -(\tanh 2x - iM)^2$ 及其周期性对应形式 $V(\theta) = (\tanh 2\theta - iM)^2$，当 $M$ 为奇整数时，拟精确可解（QES）能级本征值为实数。通过谱分析与对偶变换，作者表明对应的正交多项式具有实数范数和权函数，支持了PT对称性可保证非厄米体系中实谱的猜想。

ABSTRACT

We show that at least the quasi-exactly solvable eigenvalues of the Schrödinger equation with the potential $V(x) = -(ζ\cosh 2x -iM)^2$ as well as the periodic potential $V(x) = (ζ\cos 2θ-iM)^2$ are real for the PT-invariant non-Hermitian potentials in case the parameter $M$ is any odd integer. We further show that the norm as well as the weight functions for the corresponding weak orthogonal polynomials are also real.

研究动机与目标

• 研究PT对称的非厄米哈密顿量是否能产生实数能量本征值，从而挑战量子力学中厄米性必要性的观点。
• 分析两种特定非厄米势的谱性质：双曲型与周期型。
• 确定拟精确可解（QES）本征值保持实数且有下界的具体条件。
• 探讨QES框架下关联弱正交多项式的范数与权函数是否保持实数，尽管递推关系中存在复系数。
• 通过对偶（反同谱）变换将结果推广至周期势情形。

提出的方法

• 通过变换 $\psi(x) = e^{i\frac{\zeta}{2}\cosh 2x}\phi(x)$ 将薛定谔方程转化为 $\phi(x)$ 的二阶微分方程。
• 应用级数解 $\phi(x) = z^s \sum R_n(E) \left(\frac{z+2}{2}\right)^{n/2}$，其中 $z = \cosh 2x - 1$，得到系数 $R_n(E)$ 的三阶递推关系。
• 将递推关系按 $n$ 的奇偶性分离，分别得到对应偶波函数与奇波函数的两个独立三阶递推关系 $P_n(E)$ 与 $Q_n(E)$。
• 应用临界多项式条件：当 $M = 2k+1$ 时，$k+1$ 次与 $k$ 次多项式 $P_{k+1}(E)$ 与 $Q_k(E)$ 为实数，从而给出 $M$ 个QES本征值。
• 应用对偶变换 $x \to i\theta$，将双曲势映射为周期势 $V(\theta) = (\zeta \cos 2\theta - iM)^2$，保持PT对称性。
• 利用反同谱映射关系 $\hat{E}_k = -E_{M-1-k}$，确保当 $M$ 为奇数时本征值保持实数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非厄米PT对称势 $V(x) = -( anh 2x - iM)^2$，其拟精确可解（QES）能量本征值在整数 $M$ 时是否为实数？
• RQ2 哪些条件能保证 $\zeta$ 与 $M$ 使得QES谱保持实数且有下界？
• RQ3 尽管递推关系中存在复系数，关联弱正交多项式的范数与权函数是否仍保持实数？
• RQ4 能否通过Duality（对偶性）将QES谱实数性的结论推广至周期性PT对称势 $V(\theta) = (\zeta \cos 2\theta - iM)^2$？
• RQ5 当 $M$ 为奇数与偶数时，PT对称性如何表现，其与谱实数性的关系为何？

主要发现

• 当 $M = 1$ 时，唯一的QES本征值为 $E = 1 - \zeta^2$，对所有 $\zeta$ 均为实数，对应于类似基态的能级。
• 当 $M = 2k+1$ 为奇整数时，若满足 $|\zeta| \leq \zeta_c$（$\zeta_c$ 为依赖于 $M$ 的临界值），则恰好存在 $M$ 个实数QES本征值。
• 当 $\zeta = \zeta_c$ 时，两个最高QES能级简并；当 $\zeta > \zeta_c$ 时，部分本征值变为复数，表明发生相变。
• 尽管递推关系中存在复系数，临界多项式 $P_{k+1}(E)$ 与 $Q_k(E)$ 在 $M = 2k+1$ 时仍为实数。
• 正交多项式的范数 $\gamma_n$ 为实数，但不恒为正：偶数次多项式范数为正，奇数次多项式在 $n < M$ 时范数为负，且在 $n \geq M$ 时为零。
• 正交多项式的权函数 $\omega(E)$ 为实数但非正定，此结论由递推系数 $a_i$ 的性质所支持。