[论文解读] PT-symmetry and Schrödinger operators. The double well case

Nawal Mecherout, Naima Boussekkine+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文研究了在小的虚部扰动下，具有双势阱势的 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称薛定谔算符的谱行为。通过复数WKB分析，推导出一个精确的量子化条件，表明仅当扰动 $\varepsilon$ 为指数级小时，本征值才保持实数；当 $\varepsilon$ 超过与 $e^{-J/h}$ 成比例的临界阈值时，本征值会分岔进入复平面，其中 $J$ 是一个复数作用积分。

ABSTRACT

We study a class of PT-symmetric semiclassical Schrödinger operators, which are perturbations of a selfadjoint one. Here, we treat the case where the unperturbed operator has a double-well potential. In the simple well case, two of the authors have proved in \cite{BoMe14} that, when the potential is analytic, the eigenvalues stay real for a perturbation of size O(1). We show here, in the double-well case, that the eigenvalues stay real only for exponentially small perturbations, then bifurcate into the complex domain when the perturbation increases and we get precise asymptotic expansions. The proof uses complex WKB-analysis, leading to a fairly explicit quantization condition.

研究动机与目标

• 理解在小虚部扰动下，具有双势阱势的 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称薛定谔算符的谱稳定性。
• 确定本征值从实数变为复数的扰动 $\varepsilon$ 的临界大小。
• 推导双势阱情形下本征值的精确渐近量子化条件，与单势阱情形中实本征值可维持至 $\mathcal{O}(1)$ 扰动的情况形成对比。
• 确立复数WKB分析在捕捉双势阱区域中本征值非微扰指数分裂方面的作用。

提出的方法

• 本研究采用复数WKB分析，构造准模态，并推导出在双势阱势中能量 $E_0$ 附近本征值的量子化条件。
• 关键步骤是推导出一个截断的弗雷德霍姆行列式 $f_{\theta}$，通过平稳相位法和拉普拉斯方法对其进行解析延拓与研究。
• 该方法涉及变量替换 $F = \widetilde{I}(E)$，将问题转化为依赖于 $\widetilde{\varepsilon}$ 和 $\widetilde{\kappa}$ 的函数 $\widetilde{f}^{c}$，并在临界点 $F_c$ 处分析本征值条件。
• 通过 $\widetilde{f}^{c}$ 在 $\widetilde{\varepsilon}$ 上的泰勒展开，揭示其具有二次依赖关系，临界阈值为 $\widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h) \sim \ell(\widetilde{\kappa};h) e^{-J(E_c(0,\kappa,0),0)/h}$，其中 $J$ 为复数作用积分。
• 本征值分裂的主导行为由 $|\partial_\varepsilon I(E_1,0)|^2$ 决定，该量控制了 $\widetilde{\varepsilon}$ 展开的曲率，并决定了复本征值的出现时机。
• 利用 $\widetilde{\varepsilon}$ 和 $\widetilde{\kappa}$ 的解析性，证明当 $|\widetilde{\varepsilon}| < \widetilde{\varepsilon}_c$ 时本征值为实数，当 $|\widetilde{\varepsilon}| > \widetilde{\varepsilon}_c$ 时形成共轭复数对，且在临界阈值处形成二重零点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于多大的 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称扰动 $\varepsilon$，双势阱薛定谔算符的本征值能保持实数？
• RQ2 当 $\varepsilon$ 超过临界阈值后，本征值谱如何分岔进入复平面？
• RQ3 双势阱情形下本征值分裂的精确渐近形式是什么？与单势阱情形有何不同？
• RQ4 复数WKB方法能否导出一个能捕捉本征值阈值对 $h$ 的非微扰指数依赖关系的量子化条件？

主要发现

• 本征值仅在指数级小的扰动 $\varepsilon$ 下保持实数，临界阈值按 $\widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h) \sim \ell(\widetilde{\kappa};h) e^{-J(E_c(0,\kappa,0),0)/h}$ 缩放，其中 $J$ 为复数作用积分。
• 当 $|\widetilde{\varepsilon}| < \widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h)$ 时，本征值为实数且单重，关于实轴对称。
• 在临界值 $|\widetilde{\varepsilon}| = \widetilde{\varepsilon}_c(\widetilde{\kappa};h)$ 处，本征值在 $F = F_c$ 处合并为一个二重零点。
• 当 $|\widetilde{\varepsilon}| > \widetilde{\varepsilon}_c(\varepsilon;h)$ 时，本征值变为共轭复数对，表明发生了 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称性破缺的相变。
• 本征值分裂的主导振幅由 $|\partial_\varepsilon I(E_1,0)|^2$ 决定，该量控制了 $\widetilde{\varepsilon}$ 展开的曲率。
• 通过复数WKB方法导出了本征值条件的完整渐近展开，量子化条件表示为 $\widetilde{f}^{c}(\widetilde{\varepsilon},\widetilde{\kappa};h) = m(\widetilde{\varepsilon},\widetilde{\kappa};h)(\widetilde{\varepsilon}^2 - \widetilde{\varepsilon}_c^2)$，其中 $m$ 为一个解析符号，其主导项为 $|\partial_\varepsilon I(E_1,0)|$。