[论文解读] PT symmetry and supersymmetry

Miloslav Znojil|ArXiv.org|Sep 7, 2002

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过将Witten的形式化推广至包含${\cal PT}$-对称哈密顿量的框架，提出了一种量子力学中规范场理论的新型超对称（SUSY）方法，特别针对刺状谐振子系统。通过将径向坐标复化$ r \to r - i\varepsilon $，作者对奇异离心势项进行了正则化，并构建了一个非厄米的SUSY结构，其在未破缺${\cal PT}$相下具有实能量谱，揭示了新的SUSY共轭哈密顿量及隐藏的$sl(2,\mathbb{R})$代数结构。

ABSTRACT

A re-formulated, non-Hermitian version of the Witten's supersymmetric quantum mechanics is presented. Its use of pseudo-Hermitian (so called PT symmetric) Hamiltonians is reviewed and illustrated via several forms of an innovated supersymmetric partnership between strongly singular ("spiked") harmonic oscillators.

研究动机与目标

• 将Witten的超对称量子力学推广至非厄米、${\cal PT}$-对称哈密顿量。
• 通过复坐标正则化解决高维量子系统中离心势奇异性的难题。
• 在未破缺${\cal PT}$对称性下，为刺状谐振子构建一致的超对称结构，并保证实能量谱。
• 在广义SUSY框架中识别出隐藏的$sl(2,\mathbb{R})$李代数对称性。

提出的方法

• 采用复化径向坐标$ r = x - i\varepsilon $，对$ D $维刺状谐振子中的离心项进行正则化。
• 定义保持${\cal PT}$对称性的伪厄米哈密顿量$ H^{(\alpha)} = -\partial_r^2 + \frac{\alpha^2 - 1/4}{r^2} + r^2 $，其中$ \alpha > 0 $。
• 利用一阶微分算符$ A^{(\gamma)} = \partial_r + W^{(\gamma)} $，$ B^{(\gamma)} = -\partial_r + W^{(\gamma)} $，其中$ W^{(\gamma)} = r - \frac{\gamma + 1/2}{r} $，构造超对称共轭哈密顿量$ H_{(L)}^{(\gamma)} $与$ H_{(R)}^{(\gamma)} $。
• 识别SUSY代数$ \{Q, \tilde{Q}\} = H $，$ \{Q, Q\} = \{\tilde{Q}, \tilde{Q}\} = 0 $，其中$ H $为分块对角形式，$ Q, \tilde{Q} $作为超电荷作用。
• 推导二阶微分算符$ \mathbf{A}(\alpha) $及其共轭$ \mathbf{B}(\alpha) $，其与哈密顿量$ H^{(\alpha)} $共同生成一个闭合的$sl(2,\mathbb{R})$代数。
• 通过拉盖尔多项式恒等式证明：在未破缺${\cal PT}$相下，能量谱保持实数；即使对称性自发破缺，部分谱仍保持实数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Witten的超对称量子力学能否一致地推广至非厄米、${\cal PT}$-对称哈密顿量？
• RQ2 径向坐标$ r \to r - i\varepsilon $的复化如何正则化刺状谐振子中的离心奇异项？
• RQ3 ${\cal PT}$-对称区域中SUSY共轭哈密顿量的结构如何？其是否产生实能量谱？
• RQ4 在广义${\cal PT}$-对称SUSY框架中，是否会出现隐藏的$sl(2,\mathbb{R})$代数结构？
• RQ5 当${\cal PT}$对称性自发破缺时，是否仍可获得部分实能量谱？

主要发现

• 复坐标平移$ r \to r - i\varepsilon $成功正则化了刺状谐振子中的离心项，从而建立了明确的${\cal PT}$-对称量子力学框架。
• 在未破缺${\cal PT}$相下，SUSY共轭哈密顿量$ H_{(L)}^{(\gamma)} $与$ H_{(R)}^{(\gamma)} $产生完全实能量谱，每个$ N $对应一组四重简并能级：$ 4N+4\alpha $，$ 4N+4 $，$ 4N $，和$ 4N-4\alpha $，具体取决于参数区域。
• 当$ \gamma $为实数时，系统表现出三种不同的SUSY相区：大负$ \gamma $、小负$ \gamma $与正$ \gamma $，各自具有不同的共轭关系与能级模式。
• 哈密顿量$ H^{(\alpha)} $满足$ H^{(\alpha)} = \frac{1}{8} \left( \mathbf{A}(\alpha)\mathbf{B}(\alpha) - \mathbf{B}(\alpha)\mathbf{A}(\alpha) \right) $，并与归一化生成元共同构成闭合的$sl(2,\mathbb{R})$代数。
• 广义SUSY系统的能量本征值为$ \Omega_N^{(\gamma)} = 16N(N + \gamma) $，满足四阶微分方程$ \mathbf{G}_{(L/R)} |N^{(\gamma)}\rangle = \Omega_N^{(\gamma)} |N^{(\gamma)}\rangle $。
• 即使${\cal PT}$对称性自发破缺（例如$ \gamma = i\delta $为复数），能量谱仍保持部分实数，特定能级多重态如$ E_{(L)}^{(+\alpha)} = 4n $，$ E_{(L)}^{(-\alpha)} = E_{(R)}^{(-\beta)} = 4n - 4\alpha $，以及$ E_{(R)}^{(+\beta)} = 4n + 4 $保持实数。