[论文解读] PTAS for Ordered Instances of Resource Allocation Problems with Restrictions on Inclusions

Kamyar Khodamoradi, Ramesh Krishnamurti+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2016

Supply Chain and Inventory Management参考文献 4被引用 3

一句话总结

本论文为有序且无包含关系的实例下的最大-最小与最小-最大资源分配问题提出了一个多项式时间近似方案（PTAS）。在这些实例中，每位玩家对资源的兴趣形成连续区间。该方法通过在四舍五入后的实例值上使用动态规划，并结合余数图重构，实现了 (1 + 4/k + 3/k²) 近似比，证明了凸二分图与无包含关系的二分排列图在公平分配与调度问题中存在 PTAS。

ABSTRACT

We consider the problem of allocating a set $I$ of $m$ indivisible resources (items) to a set $P$ of $n$ customers (players) competing for the resources. Each resource $j \in I$ has a same value $v_j > 0$ for a subset of customers interested in $j$, and zero value for the remaining customers. The utility received by each customer is the sum of the values of the resources allocated to her. The goal is to find a feasible allocation of the resources to the interested customers such that for the Max-Min allocation problem (Min-Max allocation problem) the minimum of the utilities (maximum of the utilities) received by the customers is maximized (minimized). The Max-Min allocation problem is also known as the extit{Fair Allocation problem}, or the extit{Santa Claus problem}. The Min-Max allocation problem is the problem of Scheduling on Unrelated Parallel Machines, and is also known as the $R \, | \, | C_{\max}$ problem. In this paper, we are interested in instances of the problem that admit a Polynomial Time Approximation Scheme (PTAS). We show that an ordering property on the resources and the customers is important and paves the way for a PTAS. For the Max-Min allocation problem, we start with instances of the problem that can be viewed as a extit{convex bipartite graph}; a bipartite graph for which there exists an ordering of the resources such that each customer is interested in (has a positive evaluation for) a set of extit{consecutive} resources. We demonstrate a PTAS for the inclusion-free cases. This class of instances is equivalent to the class of bipartite permutation graphs. For the Min-Max allocation problem, we also obtain a PTAS for inclusion-free instances. These instances are not only of theoretical interest but also have practical applications.

研究动机与目标

• 为有序且无包含关系实例下的最大-最小与最小-最大资源分配问题设计 PTAS。
• 识别出可支持 PTAS 设计的结构性质——特别是排序性与无包含性。
• 确立凸二分图与无包含关系的二分排列图在公平分配与调度问题中存在 PTAS。
• 证明基于值四舍五入与余数图重构的动态规划方法可实现 (1 + 4/k + 3/k²) 近似比。
• 探讨资源分配问题实例中 PTAS 可解与不可解类别的二分分类可能性。

提出的方法

• 将资源分配问题建模为二分图 H = (I, P, E)，其中 I 为物品集合，P 为玩家集合，边表示正估值。
• 使用值四舍五入将物品值离散化为 1/k 的有理倍数，从而在四舍五入后的向量上实现多项式时间动态规划。
• 构建大小为 m × n^{C+1} 的动态规划表 T，用于追踪可行分配，其中每个条目存储一个位标志与指向先前状态的指针。
• 应用前向阶段算法填充表格，通过“检索”函数检查部分分配的可行性，该函数可重构余数图。
• 通过指针进行反向重构，从表格中恢复实际分配，确保在四舍五入实例中每台机器的总负载在最优值的 (1 + 3/k) 以内。
• 结合对齐误差界与四舍五入误差分析，证明原始问题的总体近似比为 (1 + 4/k + 3/k²)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有序且无包含关系实例下的最大-最小与最小-最大资源分配问题设计 PTAS？
• RQ2 二分图的哪些结构性质——特别是排序性与无包含性——使得 PTAS 的存在成为可能？
• RQ3 值四舍五入与余数图重构在多大程度上能保持资源分配问题中的近似保证？
• RQ4 是否存在一种二分法，可将可实现 PTAS 的二分图类别与不可实现 PTAS 的类别区分开来？
• RQ5 该动态规划方法能否扩展至包含边界的区间实例？

主要发现

• 在无包含关系的凸二分图上，已建立最大-最小分配问题的 PTAS，其等价于二分排列图。
• 在相同无包含关系与有序约束下，也开发了最小-最大分配问题（R||C_max）的 PTAS。
• 通过结合值四舍五入与余数图重构，该算法对两个问题均实现了 (1 + 4/k + 3/k²) 的近似比。
• 该算法的时间复杂度为 O((m + n) × n^{2(C+1)})，当 k 固定时，为输入规模的多项式时间。
• 通过可行性引理证明了该算法的正确性：当存在 1-分配时，必然存在 (1 + 1/k)-分配。
• 该方法表明，结构性排序与无包含性是资源分配问题中 PTAS 存在的充分条件。