[论文解读] Public key exchange using semidirect product of (semi)groups

Maggie Habeeb, Delaram Kahrobaei+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

DNA and Biological Computing参考文献 1被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于（半）群的半直积的新型公钥交换协议，特别地，通过自同构扩展群。它利用非阿贝尔半群——特别是ℤ₇[A₅]上的矩阵——构建密钥交换，双方仅传输部分结果，其安全性基于与经典Diffie-Hellman问题不同的假设，且由于A₅的简单性，对基于同态的攻击具有抵抗力。

ABSTRACT

In this paper, we describe a brand new key exchange protocol based on a semidirect product of (semi)groups (more specifically, on extension of a (semi)group by automorphisms), and then focus on practical instances of this general idea. Our protocol can be based on any group, in particular on any non-commutative group. One of its special cases is the standard Diffie-Hellman protocol, which is based on a cyclic group. However, when our protocol is used with a non-commutative (semi)group, it acquires several useful features that make it compare favorably to the Diffie-Hellman protocol. Here we also suggest a particular non-commutative semigroup (of matrices) as the platform and show that security of the relevant protocol is based on a quite different assumption compared to that of the standard Diffie-Hellman protocol.

研究动机与目标

• 开发一种基于（半）群半直积的新型公钥交换协议，以推广Diffie-Hellman协议。
• 探索使用非阿贝尔半群（特别是群环上的矩阵半群）实现协议的实际方法。
• 证明当使用非阿贝尔平台时，协议的安全性基于与标准Diffie-Hellman问题不同的计算假设。
• 通过选择在平凡化映射下消失的平台元素，确保抵抗通过群同态泄露信息。
• 提供一种安全且高效的密钥交换机制，其传输数据量小于完整幂次传输。

提出的方法

• 协议使用半直积G ⋊ₚ H，其中H是Aut(G)的子群，并通过类似共轭的运算构造密钥交换。
• 双方计算并交换部分结果：Alice发送H⁻ᵐ(HM)ᵐ，Bob发送H⁻ⁿ(HM)ⁿ，其中M是ℤ₇[A₅]上的非可逆矩阵。
• 共享密钥K通过公式K = H⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾(HM)ᵐ⁺ⁿ独立计算得出，双方均基于交换值完成。
• 平台采用ℤ₇[A₅]上的3×3矩阵，其元素被选择为和为零，以防止在平凡化同态下泄露信息。
• 可逆矩阵H通过在ℤ₇[A₅]中取20个随机上/下三角矩阵（对角线元素可逆）的乘积采样得到。
• 协议通过使用具有环路的非可逆矩阵而非具有小阶的可逆元素，避免依赖元素的阶，使蛮力攻击比标准Diffie-Hellman更困难。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于（半）群的自同构作用下的半直积构造公钥交换协议，从而推广Diffie-Hellman协议？
• RQ2 使用非阿贝尔半群作为平台是否会导致与经典Diffie-Hellman问题不同的安全性假设？
• RQ3 能否在控制信息泄露的前提下，使用ℤ₇[A₅]上的矩阵实现高效且安全的密钥交换？
• RQ4 如何设计协议以抵抗基于群同态（特别是平凡化映射）的攻击？
• RQ5 当平台元素具有小环路而非有限阶时，协议的安全性是否依然保持？

主要发现

• 该协议推广了Diffie-Hellman密钥交换，当平台群为循环群时，退化为标准的Diffie-Hellman协议。
• 在非阿贝尔情况下，安全性基于从(h, h⁻ᵐgᵐ, h⁻ⁿgⁿ)恢复K = h⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾gᵐ⁺ⁿ的困难性，该问题与离散对数或Diffie-Hellman问题不同。
• 使用ℤ₇[A₅]上元素和为零的矩阵，可确保平凡化同态不会泄露信息，因为所有传输的矩阵均映射为零矩阵。
• 平台群A₅是简单的，且无非平凡同态，可防止攻击者通过同态攻击获得密钥的部分信息。
• 由于使用具有环路的非可逆矩阵而非具有小阶的可逆元素，协议可抵抗蛮力攻击。
• 可逆矩阵H的采样过程高效，通过20个随机三角矩阵的乘积实现，确保实用性且不损害安全性。