[论文解读] Public-Key Pseudoentanglement and the Hardness of Learning Ground State Entanglement Structure

Adam Bouland, Bill Fefferman+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

本文证明，在学习与误差（LWE）假设下，即使仅需区分体积律与近面积律纠缠，确定局部哈密顿量基态的纠缠结构在计算上也是不可行的。通过构建在LWE假设下计算上不可区分但产生具有截然不同纠缠熵的量子电路，作者证明了此类基态纠缠结构无法被高效学习。关键结果是构造出一族二维几何局部哈密顿量，其基态在截面上表现出多对数或Ω(n)量级的纠缠，但其经典描述在LWE假设下仍不可区分。

ABSTRACT

Given a local Hamiltonian, how difficult is it to determine the entanglement structure of its ground state? We show that this problem is computationally intractable even if one is only trying to decide if the ground state is volume-law vs near area-law entangled. We prove this by constructing strong forms of pseudoentanglement in a public-key setting, where the circuits used to prepare the states are public knowledge. In particular, we construct two families of quantum circuits which produce volume-law vs near area-law entangled states, but nonetheless the classical descriptions of the circuits are indistinguishable under the Learning with Errors (LWE) assumption. Indistinguishability of the circuits then allows us to translate our construction to Hamiltonians. Our work opens new directions in Hamiltonian complexity, for example whether it is difficult to learn certain phases of matter.

研究动机与目标

• 研究局部哈密顿量基态的定性纠缠特征（特别是体积律与近面积律）的计算复杂性。
• 确立即使仅目标是区分两种定性不同的纠缠模式，此类学习问题也是不可行的。
• 构造显式量子电路与哈密顿量族，使得纠缠结构对计算能力受限的观察者隐藏，尽管电路描述是公开的。
• 证明该困难源于密码学假设（LWE），表明此类纠缠结构学习在根本上受限于计算复杂性。

提出的方法

• 在LWE假设下构造两族计算上不可区分的量子电路，但其输出态的纠缠熵存在显著差异：一者具有多对数纠缠，另一者具有Ω(n)纠缠。
• 通过Kitaev时钟构造法，将这些电路经填充电路-哈密顿量构造映射为n×poly(n)网格上的二维几何局部哈密顿量。
• 利用冯·诺依曼熵的连续性与谱隙界限，确保哈密顿量基态的纠缠与电路输出态的纠缠紧密对应。
• 证明基态纠缠熵在多乘性因子(1−1/n)与小的加法误差(polylog n)范围内被保留，从而确保纠缠间隙得以维持。
• 利用电路族的不可区分性，证明在LWE假设下，哈密顿量的古典描述同样计算上不可区分。
• 基于LWE构造一个损毁函数，生成对任何高效观察者而言看似高度纠缠的伪纠缠态，尽管其信息论纠缠极低。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅需区分体积律与近面积律纠缠的前提下，计算上是否难以确定局部哈密顿量基态是否具有体积律或近面积律纠缠？
• RQ2 能否构造具有公开描述的量子电路，使其产生具有截然不同纠缠结构但计算上不可区分的态？
• RQ3 即使已知哈密顿量的古典描述，其基态纠缠结构在多大程度上可对高效观察者隐藏？
• RQ4 此类伪纠缠能否被推广至一维与二维局部哈密顿量，同时保持纠缠间隙与计算不可区分性？
• RQ5 在标准密码学假设（如LWE）下，学习基态纠缠结构的困难性是否依然成立？

主要发现

• 本文构造了两族在LWE假设下计算上不可区分的量子电路，但其输出态的纠缠熵存在超多项式差距：一者具有多对数纠缠，另一者具有Ω(n)纠缠。
• 所生成的二维几何局部哈密顿量的基态继承了电路输出态的纠缠结构，纠缠熵在多乘性因子(1−1/n)与加法误差polylog n范围内被保留。
• 在n×poly(n)二维网格中，任意距离边界至少ω(log n)的水平截面上，来自H_low^n的哈密顿量基态纠缠熵为O(polylog n)，而来自H_high^n的则为Ω(n)。
• 在LWE假设下，H_low^n与H_high^n的哈密顿量古典描述计算上不可区分，意味着任何高效算法均无法区分这两族。
• 在标准LWE假设下，纠缠间隙为O(n^δ)对比Ω(n)，对任意δ>0，表明即使间隙缩小为仍超多项式，困难性依然存在。
• 本工作建立了密码学困难性（LWE）与学习基本量子多体性质（如纠缠结构）的计算不可行性之间的正式联系。