[论文解读] Pull-back of currents by meromorphic maps

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在紧致凯勒流形上，针对在支配性亚纯映射下的有限阶$(p,p)$-当前，引入了一个明确定义的拉回算子$f^{ atural}$，利用DSH当前的正则化与光滑逼近的弱极限。关键贡献在于构造了一个一致且与上同调相容的拉回算子，扩展了先前的定义，使得即使在正性丧失的情况下，也能研究不变当前。

ABSTRACT

Let $X$ and $Y$ be compact Kähler manifolds, and let $f:X ightarrow Y$ be a dominant meromorphic map. Base upon a regularization theorem of Dinh and Sibony for DSH currents, we define a pullback operator $f^{\sharp}$ for currents of bidegrees $(p,p)$ of finite order on $Y$ (and thus for {\it any} current, since $Y$ is compact). This operator has good properties as may be expected. Our definition and results are compatible to those of various previous works of Meo, Russakovskii and Shiffman, Alessandrini and Bassanelli, Dinh and Sibony, and can be readily extended to the case of meromorphic correspondences. We give an example of a meromorphic map $f$ and two nonzero positive closed currents $T_1,T_2$ for which $f^{\sharp}(T_1)=-T_2$. We use Siu's decomposition to help further study on pulling back positive closed currents. Many applications on finding invariant currents are given.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上，针对支配性亚纯映射下的有限阶$(p,p)$-当前，定义一个一致的拉回算子。
• 确保与光滑、正闭以及DSH当前的现有拉回定义相容。
• 将拉回算子扩展至亚纯对应，并研究当前在迭代下的不变性。
• 研究拉回正当前时可能不再保持正性的案例，特别是高双次数情形。
• 应用该理论，通过Siu分解与动力系统技术构造不变当前。

提出的方法

• 使用对光滑检验形式$\alpha$的对偶恒等式$\int_X f^{ atural}(T) \wedge \alpha = \lim_{n\to\infty} \int_Y T \wedge K_n(f_*(\alpha))$，其中$K_n$是$f_*(\alpha)$的正则化。
• 应用Dinh与Sibony的正则化定理，通过$C^s$形式$K_n(f_*(\alpha))$逼近$f_*(\alpha)$（其为DSH当前）。
• 通过$T_n$（$T$的光滑逼近）的弱极限定义$f^{ atural}(T)$，确保不同序列间的一致性。
• 利用正当前的紧致性与DSH范数控制收敛性，从而在一般当前上定义拉回算子。
• 利用Siu分解分析正闭当前的拉回，通过分离其奇异部分与解析部分。
• 通过构造概率测度的平均拉回的弱极限，将拉回算子应用于动力系统以构造不变当前。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在支配性亚纯映射下，即使正性不被保持，也为$(p,p)$-当前定义一个一致的拉回算子？
• RQ2 所提出的拉回算子是否与光滑、正闭及DSH当前的现有定义一致？
• RQ3 在何种条件下，亚纯映射下正闭当前的拉回仍保持正性？
• RQ4 拉回算子能否扩展至亚纯对应，并用于构造不变当前？
• RQ5 拉回算子是否在一般凯勒流形上满足代数稳定性性质$(f^n)^{ atural} = (f^{ atural})^n$？

主要发现

• 通过正则化与弱极限，拉回算子$f^{ atural}$在紧致凯勒流形上所有有限阶$(p,p)$-当前上均有良好定义。
• 该算子与光滑形式上的标准拉回一致，并与正闭及DSH当前的先前构造相容。
• 构造了一个例子，使得$f^{ atural}(T_1) = -T_2$，其中$T_1, T_2$为非零正闭当前，表明正性在一般情况下不被保持。
• 通过Siu分解，本文提供了一个准则，通过分离其解析部分与奇异部分，分析一般正闭当前的拉回。
• 拉回保持当前的上同调类，确保与上同调动力学的一致性。
• 对于对合$J_X$，拉回满足$(J_X^{ atural})^2 = \mathrm{id}$于$(2,2)$-当前上，且$J_X$为2-代数稳定。