[论文解读] Pullback attractors for a singularly nonautonomous plate equation

Vera Lúcia Carbone, Marcelo J. D. Nascimento+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文建立了在有界区域中具有结构性阻尼的奇异非自治板方程的拉回吸引子的存在性，证明了当阻尼参数 $\varepsilon \to 0$ 时，吸引子族是上半连续的。分析依赖于能量估计、演化过程理论和 Gronwall 不等式，以证明在阻尼系数的小扰动下解与吸引子的收敛性。

ABSTRACT

We consider the family of singularly nonautonomous plate equation with structural damping \[ u_{tt} + a(t,x)u_{t} + (- Δ) u_{t} + (-Δ)^{2} u + λu = f(u), \] in a bounded domain $Ω\subset \R^n$, with Navier boundary conditions. When the nonlinearity $f$ is dissipative we show that this problem is globally well posed in $H^2_0(Ω) imes L^2(Ω)$ and has a family of pullback attractors which is upper-semicontinuous under small perturbations of the damping $a$.

研究动机与目标

• 使用拉回吸引子理论分析具有时间依赖阻尼的非自治板方程的渐近行为。
• 在能量空间 $H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 中建立该方程的全局适定性。
• 证明当扰动参数 $\epsilon \to 0$ 时，拉回吸引子族的上半连续性。
• 研究阻尼系数 $a_\epsilon(t,x)$ 的小扰动下拉回吸引子结构的稳定性。

提出的方法

• 通过使用扇算子 $\mathcal{A}_\epsilon(t)$，将板方程在希尔伯特空间 $X^0 = H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 中表示为一阶演化系统。
• 定义与半线性问题相关的演化过程 $S_\epsilon(t,\tau)$，并证明其具有强有界性和耗散性。
• 利用能量估计和 Gronwall 不等式，建立演化过程的渐近紧致性。
• 应用拉回吸引子的抽象理论，证明在 $X^0$ 中存在一族拉回吸引子 $\{\mathbb{A}_\epsilon(t)\}$。
• 通过函数 $w = u - v$ 分析 $\epsilon$-依赖问题与 $\epsilon=0$ 问题解之间的差异，导出涉及 $\|a_0 - a_\epsilon\|_{L^\infty}$ 的微分不等式。
• 利用 $a_\epsilon \to a_0$ 的一致收敛性及 Gronwall 不等式，证明在紧致时间区间上 $\|w(t)\|_{X^0} \to 0$ 当 $\epsilon \to 0$ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有结构性阻尼的奇异非自治板方程在能量空间 $H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 中是否具有拉回吸引子？
• RQ2 当阻尼系数 $a_\epsilon(t,x)$ 收敛于 $a_0(t,x)$ 时，拉回吸引子族是否具有上半连续性？
• RQ3 解的行为如何依赖于阻尼系数 $\epsilon$ 的小扰动？
• RQ4 在阻尼函数的小变化下，吸引子结构是否可以稳定？

主要发现

• 对于任意 $\epsilon \in [0,1]$，该问题在 $H^2_0(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 中是全局适定的。
• 演化过程 $S_\epsilon(t,\tau)$ 具有强有界性和耗散性，确保了拉回吸引子 $\mathbb{A}_\epsilon(t)$ 的存在。
• 拉回吸引子族 $\{\mathbb{A}_\epsilon(t)\}$ 在 $\epsilon = 0$ 处是上半连续的，即 $\lim_{\epsilon \to 0} \text{dist}(\mathbb{A}_\epsilon(t), \mathbb{A}_0(t)) = 0$。
• 在 $\epsilon$-依赖问题与 $\epsilon=0$ 问题的解 $u$ 和 $v$ 之间的差异满足：当 $\epsilon \to 0$ 时，$\|w(t)\|_{X^0} \to 0$ 在紧致时间区间上成立。
• 在假设 $a_\epsilon \to a_0$ 一致收敛于 $\mathbb{R} \times \Omega$ 的条件下，吸引子的收敛性对 $X^0$ 中有界初值集是一致的。
• 证明依赖于对解的差分方程应用能量估计和 Gronwall 不等式，其中关键项 $\|a_0 - a_\epsilon\|_{L^\infty}$ 驱动了收敛性。