[论文解读] Pullback of Klingen Eisenstein series and certain critical L-values identities

Alok Shukla|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 1

一句话总结

本文利用表示论方法，为任意水平 N 的二度 Klingen 希尔伯特-埃斯泰因 系数在 Siegel 同余子群 Γ₀(N) 和参数子群 K(N) 下建立了拉回公式。通过将这些公式与 Mizumoto 的傅里叶展开相结合，证明了关于全水平且偶权 k ≥ 6 的规范化椭圆模形式的 L 函数临界值的新恒等式。

ABSTRACT

We obtain pullback formulas for Klingen Eisenstein series with arbitrary levels, with respect to both Siegel congruence and paramodular subgroups, in degree two. Pullback results are used, along with the Fourier series expansion of Klingen Eisenstein series given by Mizumoto, to prove certain identities involving critical values of $ L$-functions attached to normalized elliptic modular forms of weight $ k $ and full level.

研究动机与目标

• 为任意水平 N 的 Klingen 埃斯泰因 系数在二度下，针对 Γ₀(N) 和 K(N) 建立拉回公式。
• 将先前关于 Klingen 埃斯泰因 系数拉回结果推广至任意水平，而不仅限于全水平情况。
• 结合拉回公式与 Mizumoto 的傅里叶级数展开，推导出临界 L 值的恒等式。
• 通过傅里叶系数建立 GSp(4) 上自守形式与椭圆模形式 L 函数之间的联系。
• 提供一个表示论框架，将经典结果推广至更高水平与子群。

提出的方法

• 使用在 GSp(4, A) 上的诱导自守表示 |·|s ⋊ |·|−s/2 π，对 Klingen 埃斯泰因 系数进行表示论表述。
• 通过从 Klingen 极大抛物子群的全局诱导，定义埃斯泰因 系数 E(g, s, Φ)，其中 Φ 为诱导表示中的特殊向量。
• 利用拉回公式，将 Klingen 埃斯泰因 系数 Ek₂,₁(Z, f, N) 与经典埃斯泰因 系数和模形式乘积之和联系起来。
• 通过 Mizumoto 对 Klingen 埃斯泰因 系数的显式傅里叶展开，比较拉回恒等式两边的傅里叶系数。
• 固定 s = k − 2，将埃斯泰因 系数与权为 k 的全纯模形式联系起来。
• 利用单模等价性与基本判别式条件，计算特定 Heegner 型矩阵 T 的傅里叶系数 A(T, f)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Klingen 埃斯泰因 系数的拉回公式推广至任意水平 N，而不仅限于全水平情况？
• RQ2 Klingen 埃斯泰因 系数的傅里叶系数与椭圆模形式 L 函数的临界值之间的确切关系是什么？
• RQ3 表示论方法能否为 Γ₀(N) 和 K(N) 子群在二度下均导出拉回恒等式？
• RQ4 对称平方与扭 L 函数的临界 L 值如何在由傅里叶展开导出的恒等式中体现？
• RQ5 狄利克雷特征 χ−4 和 χ−3 在临界 L 值恒等式中起什么作用？

主要发现

• 针对任意水平 N，为 Γ₀(N) 和 K(N) 建立了 Klingen 埃斯泰因 系数的拉回公式，推广了先前结果。
• 当 N = 1 时，拉回公式退化为 [11] 中 Heim 结果的二度情形，验证了一致性。
• Klingen 埃斯泰因 系数 Ek₂,₁(Z, f) 的 q₁q₂ 系数被证明为 2 + (−1)ᵏ/²(k−1)!(2π)ᵏ⁻¹ / (2k−2)! × L(2k−2, Sym²f) × [2²ᵏ⁻³L(k−1, χ₋₄)L(k−1, f⊗ϑ₁) + 2·3ᵏ⁻³/²L(k−1, χ₋₃)L(k−1, f⊗ϑ₂)]
• 通过傅里叶系数比较，证明了恒等式 4/ζ(1−k) + Af(1,1) = 2 + (−1)ᵏ/²(k−1)!(2π)ᵏ⁻¹ / (2k−2)! × L(2k−2, Sym²f) × [2²ᵏ⁻³L(k−1, χ₋₄)L(k−1, f⊗ϑ₁) + 2·3ᵏ⁻³/²L(k−1, χ₋₃)L(k−1, f⊗ϑ₂)]
• 该结果为临界 L 值的加权平均提供了新表达式，通过重新定义 Ak(f) 修正并优化了 [1] 中的公式。