[论文解读] Pulsating solutions for multidimensional bistable and multistable equations

Thomas Giletti, Luca Rossi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 21被引用 32

一句话总结

本论文证明在任意维度的空间周期异质反应-扩散方程中存在脉动行进前沿，包括双稳态和多稳态情形，并指出多稳态情形可能呈现传播阶梯，其组成可能依传播方向而异。

ABSTRACT

We devote this paper to the issue of existence of pulsating travelling front solutions for spatially periodic heterogeneous reaction-diffusion equations in arbitrary dimension, in both bistable and more general multistable frameworks. In the multistable case, the notion of a single front is not sufficient to understand the dynamics of solutions, and we instead observe the appearance of a so-called propagating terrace. This roughly refers to a finite family of stacked fronts connecting intermediate stable steady states whose speeds are ordered. Surprisingly, for a given equation, the shape of this terrace (i.e., the involved intermediate states or even the cardinality of the family of fronts) may depend on the direction of propagation.

研究动机与目标

• 在多维周期介质中为二维及以上的双稳态与多稳态反应，动机并形式化地存在脉动行进前沿。
• 在存在多个稳定稳态的情况下表征动力学，提出传播阶梯的概念。
• 建立确保有序速度的前沿存在性条件，并探索阶梯结构的传播方向依赖性。

提出的方法

• 研究方程 ∂t u = div(A(x)∇u) + f(x,u)，其中 A 和 f 在空间中周期性。
• 通过假设 1.1、1.2 和 假设 1.3 将双稳态和多稳态区分开来。
• 利用时间离散化动力系统方法和离散 travelling front 概念构建前沿。
• 在双稳态情形下证明单调脉动前沿的存在性（定理 1.4）。
• 在多稳态情形下证明传播阶梯的存在性（定理 1.5）。
• 给出一个例子，阶梯形状可能依方向而异（命题 1.6）。

实验结果

研究问题

• RQ1 脉动行进前沿是否能够在高维周期介质中连接极端周期稳态？
• RQ2 多稳态如何影响前沿结构，是否可以出现传播阶梯来替代单一前沿？
• RQ3 前沿速度是否在阶梯中形成有序序列，方向如何影响阶梯组成？
• RQ4 在何种条件下双稳态前沿的存在性能扩展到多维周期情形？
• RQ5 同一方程中传播方向是否会导致阶梯结构差异？

主要发现

• 在双稳态周期性设置中，存在将顶端稳态连接到零的单调脉动 travelling 前沿（定理 1.4）。
• 在多稳态设置中，存在将顶端状态连接到零的传播阶梯，在任一方向成立（定理 1.5）。
• 阶梯速度是有序的（c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ cJ），且所有中间态在稳定性条件下稳定（在假设 1.2 与 1.3 内）。
• 传播阶梯的形状和基数可能依传播方向而异（命题 1.6）。
• 采用离散时间的迭代方案来构建前沿和阶梯，然后通过极限过程得到脉动结构的连续极限。