[论文解读] Pumping lemmas for linear and nonlinear context-free languages

Géza Horváth, Benedek Nagy|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文提出了针对固定比率线性和非线性上下文无关语言的新泵送归纳法，使能够证明某些语言不属于特定子类（如偶线性或金属线性）。这些归纳法允许多位置同时泵送，可区分非金属线性上下文无关语言，关键结果表明：满足多个k值泵送条件的语言可能是正规的，且可通过新的迭代条件识别非金属线性语言。

ABSTRACT

Pumping lemmas are created to prove that given languages are not belong to certain language classes. There are several known pumping lemmas for the whole class and some special classes of the context-free languages. In this paper we prove new, interesting pumping lemmas for special linear and context-free language classes. Some of them can be used to pump regular languages in two place simultaneously. Other lemma can be used to pump context-free languages in arbitrary many places.

研究动机与目标

• 为固定比率线性和金属线性语言类开发新的泵送归纳法。
• 使能够证明某些语言不属于上下文无关语言的特定子类（如偶线性或金属线性）。
• 提供一种通过迭代条件区分非金属线性上下文无关语言的方法。
• 研究满足多个k值泵送归纳法的语言是否必须为正规语言。
• 将泵送归纳法的应用范围扩展至标准正规和上下文无关类之外。

提出的方法

• 提出一种k比率线性语法模型，其中规则中左右字符串长度的比值固定为有理数k，推广了偶线性和正规语法。
• 为k比率线性语言引入泵送归纳法，允许在两个或更多位置同时泵送，利用固定的比值k。
• 将k线性语法定义为在普通线性语法基础上增加一条规则 S → S₁S₂…Sₖ，其中 Sᵢ 不在其他地方出现，且 S 不出现在任何其他规则中。
• 为非k线性上下文无关语言开发泵送归纳法，以识别不属于金属线性家族的语言。
• 利用新归纳法分析特定语言，如 L = {0ʲ1ᵐ0ʳ1ⁱ0ˡ1ⁱ0ʳ1ᵐ0ʲ | r prime}，证明其非偶线性或非固定比率线性。
• 应用归纳法证明满足Bar-Hillel条件但不满足新迭代条件的语言非上下文无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种泵送归纳法，使固定比率线性语言可在多个位置同时泵送？
• RQ2 语言需满足何种条件才能被归类为多个不同有理数k值的k比率线性语言？
• RQ3 新泵送归纳法能否区分非金属线性上下文无关语言与金属线性语言？
• RQ4 能否利用非k线性语言的新迭代条件证明某语言非上下文无关？
• RQ5 在何种条件下，满足两个不同k值泵送归纳法意味着语言为正规语言？

主要发现

• 本文通过k比率泵送归纳法（k=1）证明语言 L = {0ʲ1ᵐ0ʳ1ⁱ0ˡ1ⁱ0ʳ1ᵐ0ʲ | r prime} 非偶线性，因此非正规。
• 语言 L = {aˡbˡaᵐbᵐaⁿbⁿ | l,m,n ≥ 0} 满足k=3的泵送归纳法，因此为金属线性，确认其属于金属线性家族。
• 语言 L₂ = {aˡbˡaᵐbᵐaⁿbⁿ | l,m,n ≥ 1; l∈H or m∈H or n∈H} ∪ {aⁱbⁱaʲbʲ | i,j ≥ 1}，其中H为{2ᵏ}的无限子集，不满足k=3的泵送条件，因此非上下文无关。
• k比率线性语言的泵送归纳法适用于所有正规语言，因为每个正规语言对任意非负有理数k均为k比率线性。
• 本文提供了证据表明：满足两个不同k值泵送归纳法的语言可能是正规的，由此提出猜想：仅正规语言满足多个k值的归纳法。
• 非k线性上下文无关语言的新迭代条件既可用于证明语言非上下文无关，也可用于确认其为金属线性。