[论文解读] Pure Measures, Density Measures and the Dual of L-infinity

Moritz Schönherr, Friedemann Schuricht|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文引入密度测度作为一类新的有限可加测度，为 $L^∞(\mathbb{R}^n)$ 的对偶空间提供了具体且有意义的表示，超越了抽象构造。它证明了此类测度是纯的，可用于表示迹和曲面积分，为 $\mathbb{R}^n$ 上的微分几何与泛函分析提供了新框架。

ABSTRACT

Measures play an important role in the characterisation of various function spaces. In this paper, the structure of density measures will be investigated. These are elements of the dual of the space of essentially bounded func- tions. The main results presented here are a more precise representation of the dual of the space of essentially bounded functions, leading to the notion of pure measures, and the definition and analysis of density measures which constitute a large class of such measures. It is shown that density measures have applications in the context of traces. In particular, new and meaningful examples of pure measures are given on Rn, in contrast to common examples in the literature, which are usually constructed on N.

研究动机与目标

• 将 $L^\infty(\Omega, \mathcal{L}^n)$ 的对偶空间表示进一步细化，超越一般有界可加测度的范畴。
• 定义并分析 $\mathbb{R}^n$ 上的一类大而有意义的纯测度——密度测度。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上提供纯测度的具体例子，与 $\mathbb{N}$ 上典型构造形成对比。
• 展示这些测度在迹理论与微分几何中的应用。
• 刻画密度测度集合的极值点，并将其与奇异Radon测度联系起来。

提出的方法

• 使用格论分解技术分析测度的向量格，识别纯分量。
• 通过在Lebesgue测度为零的集合（如边界或低维集合）上具有紧支集的Radon测度进行积分，定义密度测度。
• 应用核心测度论与对偶性理论，证明密度测度代表了 $(L^\infty)^*$ 中的元素。
• 利用测度的“核心”概念识别纯测度的支集，尤其在 $\partial\Omega$ 等集合上。
• 应用Riesz表示定理及其推广，将对 $\mu$ 的积分与经典曲面积分联系起来。
• 应用Gauss-Green公式，证明曲面通量可表示为对纯的、具有密度型的测度的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超越一般有界可加测度的范畴下，进一步细化 $L^\infty(\Omega, \mathcal{L}^n)$ 的对偶空间表示？
• RQ2 $(L^\infty(\mathbb{R}^n))^*$ 中的纯测度具有怎样的结构？如何在 $\mathbb{R}^n$ 上显式构造它们？
• RQ3 密度测度能否作为一类有意义的纯测度，且在迹理论中具有应用价值？
• RQ4 测度的“核心”在刻画纯测度及其支集方面起什么作用？
• RQ5 密度测度与经典曲面积分及微分几何之间有何关系？

主要发现

• 密度测度是 $(L^\infty(\Omega, \mathcal{L}^n))^*$ 中一大类纯测度，通过在Lebesgue测度为零的集合上对Radon测度进行积分来定义。
• 对于任意闭集 $C \subset \overline{\Omega}$，满足 $\mathcal{L}^n(C \cap \Omega) = 0$ 且在每个邻域内测度为正，则存在一个纯测度 $\mu$，使得对所有 $\phi \in C_0(\Omega)$，有 $\int_\Omega \phi \, d\mu = \int_C \phi \, d\sigma$。
• 若关联的Radon测度 $\sigma$ 关于Lebesgue测度奇异，则该测度 $\mu$ 是纯的。
• 此类测度 $\mu$ 的核心包含于支集 $C$ 中，且当 $\Omega$ 具有光滑边界时，$\mu$ 可通过 $\int_\Omega \phi \, d\mu = \int_{\partial\Omega} \phi \, d\mathcal{H}^{n-1}$ 表示为曲面积分。
• 曲面通量 $\int_{\partial\Omega} \phi \cdot \nu \, d\mathcal{H}^{n-1}$ 可表示为 $\int_\Omega \phi \, d\mu$，其中 $\mu$ 为纯测度，从而与散度定理建立联系。
• 密度测度集合的极值点被刻画为对应于零Lebesgue测度集合上的Dirac型测度的那些。