[论文解读] Pure Point Diffraction and Mean, Besicovitch and Weyl Almost Periodicity

Daniel Lenz, Timo Spindeler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 45被引用 23

一句话总结

本文证明：一个平移有界测度具有纯点衍射当且仅当它是均几乎周期的，解决相位问题当且仅当它是贝西科维奇几乎周期的，且在不依赖范霍夫序列选择的前提下解决统一相位问题当且仅当它是威尔（Weyl）几乎周期的——从而解决了衍射理论中的长期悬而未决问题，并拓展了拉加里亚斯等人奠定的基础性结果。

ABSTRACT

We show that a translation bounded measure has pure point diffraction if and only if it is mean almost periodic. We then go on and show that a translation bounded measure solves what we call the phase problem if and only if it is Besicovitch almost periodic. Finally, we show that a translation bounded measure solves the phase problem independent of the underlying van Hove sequence if and only if it is Weyl almost periodic. These results solve fundamental issues in the theory of pure point diffraction and answer questions of Lagarias.

研究动机与目标

• 通过均几乎周期性表征平移有界测度的纯点衍射。
• 通过识别贝西科维奇几乎周期性为必要且充分条件，解决衍射理论中的相位问题。
• 通过威尔几乎周期性建立统一相位问题的解，且不依赖于范霍夫序列的选择。
• 通过将几乎周期性概念与谱性质和动力系统性质相联系，统一调和分析与衍射理论。
• 拓展并回答拉加里亚斯关于具有纯点衍射的测度结构的奠基性问题。

提出的方法

• 利用范霍夫序列上的艾伯莱因卷积，为平移有界测度 μ 定义自相关测度 γ_A。
• 应用傅里叶–布罗格系数分解，分析 μ 和 γ_A 的谱性质。
• 在局部紧阿贝尔群上的测度背景下，引入并分析均几乎周期性、贝西科维奇几乎周期性和威尔几乎周期性。
• 利用半测度及其傅里叶变换研究弱可适性和傅里叶可表性。
• 沿任意范霍夫序列使用平均化论证，证明均值的稳定性与收敛性。
• 应用动力系统理论（TMDS），通过几乎周期性表征具有纯点谱的测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个平移有界测度具有纯点衍射？
• RQ2 哪些测度特征能表征衍射理论中相位问题的解？
• RQ3 在何种条件下，相位问题能对所有范霍夫序列统一求解？
• RQ4 均几乎周期性、贝西科维奇几乎周期性和威尔几乎周期性如何与纯点衍射及谱性质相关联？
• RQ5 范霍夫序列在确定衍射谱和相位信息方面起什么作用？

主要发现

• 一个平移有界测度具有纯点衍射当且仅当它是均几乎周期的。
• 一个平移有界测度解决相位问题当且仅当它是贝西科维奇几乎周期的。
• 一个平移有界测度在不依赖范霍夫序列选择的前提下解决统一相位问题当且仅当它是威尔几乎周期的。
• 当且仅当底层测度是均几乎周期时，衍射测度才是纯点测度。
• 相位问题可解当且仅当测度的傅里叶–布罗格系数在贝西科维奇半范下表现良好。
• 威尔几乎周期性确保衍射谱不依赖于范霍夫序列的选择，从而解决了衍射理论中的一个关键问题。