[论文解读] Pure state quantum statistical mechanics and black holes

Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Statistical Mechanics and Entropy被引用 27

一句话总结

该论文表明，在大多数测量下，具有多个自由度的纯态量子系统会再现经典系综（如微正则系综和正则系综）的统计行为。在热力学极限下，典型纯态上测量的期望值和矩收敛到统计力学所预测的值，表明纯量子态无需混合态或经典概率即可模拟热平衡态。

ABSTRACT

Chapter 3 of S. Lloyd's 1988 Ph.D. thesis, `Black Holes, Demons, and the Loss of Coherence: How complex systems get information and what they do with it,' supervisor Heinz Pagels. Reformulates statistical mechanics in terms of pure states and shows that (a) quantum statistics of typical pure states are very close to the mechanics of statistical mechanical ensembles; (b) if a system is in a typical state with energy E, then the reduced density matrix of a subsystem is very close to a thermal state. (A similar result was derived using Levy's lemma some years later by S. Popescu, A.J. Short, A.Winter, Nature Physics 2, 754-758 (2006).) Pure state quantum statistical mechanics is applied to black holesto show that for typical states of matter insideand outside a black hole, the external state is likely to be thermal. Proposes novel interpretation of probabilities in quantum statistical mechanics. Full thesis available at http://meche.mit.edu/documents/slloyd_thesis.pdf. This chapter was submitted for publication to Physical Review in 1988 but rejected by one sentence referee report: `There is no physics in this paper.' You be the judge.

研究动机与目标

• 确立多体系统纯量子态可再现标准系综（如微正则系综和正则系综）的统计预测。
• 解决基础性问题：为何纯态量子系统在不依赖经典概率或混合态的情况下可表现出类似热平衡的行为。
• 为多自由度系统中由纯态动力学涌现出统计力学提供量子力学解释。
• 将结果应用于黑洞，表明其热力学行为可理解为大希尔伯特空间中纯态动力学的结果。
• 为通过希尔伯特空间中的典型性视角理解量子测量问题和黑洞信息丢失问题奠定基础。

提出的方法

• 从对应于固定能量 $ E $ 和能量宽度 $ dE $ 的高维希尔伯特子空间 $ H_{E,E+dE} $ 中抽取随机纯态，以模拟宏观系统。
• 应用定理1：在希尔伯特空间 $ H $ 中，随机纯态上可观测量 $ F $ 的期望值方差随 $ 1/\text{dim}(H)^{1/2} $ 缩放，表明典型性。
• 推导通用可观测量 $ F $ 的测量结果统计分布，表明在热力学极限下收敛到系综平均值。
• 分析非相互作用及弱相互作用的谐振子系统以模拟热化，使用微扰理论和密度矩阵约化。
• 利用热力学极限 $ n \to \infty $，从通用相互作用下的纯态演化推导出正则密度矩阵 $ \rho \propto e^{-\beta H} $。
• 通过剩余自由度的希尔伯特空间维数计算子系统的熵，从而导出热力学熵的涌现。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有 $ n $ 个自由度的多体系统纯态，能否对典型测量再现微正则系综或正则系综的统计预测？
• RQ2 在纯态上测量结果的统计分布与热系综相比如何？这种差异是否在热力学极限下消失？
• RQ3 希尔伯特空间中的典型性在解释孤立量子系统中热行为的涌现中起什么作用？
• RQ4 相互作用如何驱动纯态演化为类似热平衡态的态？系统的希尔伯特空间维数在此过程中起什么作用？
• RQ5 黑洞热力学能否被理解为大希尔伯特空间中纯量子态的典型行为的结果？

主要发现

• 对于具有 $ n $ 个自由度的系统，典型纯态中可观测量 $ F $ 的期望值与微正则平均值之间的差异按 $ 1/\sqrt{n} $ 缩放，在热力学极限下趋于零。
• 典型纯态上测量结果的标准差与系综预测值的差异因子为 $ 1/\sqrt{n} $，意味着在大 $ n $ 极限下统计上不可区分。
• 在热力学极限下，纯态中子系统的约化密度矩阵演化为 $ \rho \propto e^{-\hbar \omega_i / T} $，与谐振子的正则系综一致。
• 相互作用使系统演化至互信息和粗粒度熵达到最大值的状态，其值等于平衡态热力学熵。
• 结果对相互作用哈密顿量 $ H_{\text{int}} $ 的具体形式不敏感，只要其为通用且微弱，表明热化行为具有鲁棒性。
• 本文证明，在高维希尔伯特子空间 $ H_{E,E+dE} $ 中的典型纯态，其测量统计与微正则系综不可区分，偏差方差按 $ 1/(n+1) \cdot (\text{tr} F^2 / n - (\text{tr} F / n)^2) $ 缩放。