[论文解读] Pure states in the SYK model and nearly-$AdS_2$ gravity

Ioanna Kourkoulou, Juan Maldacena|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用 68

一句话总结

本文通过欧几里得投影在 SYK 模型中构造纯态，证明对角相关在一级近似下与热相关相匹配，分析非对角相关，并讨论具有背后事件视界区域和可穿越虫洞样修改的引力解释。

ABSTRACT

We consider pure states in the SYK model. These are given by a simple local condition on the Majorana fermions, evolved over an interval in Euclidean time to project on to low energy states. We find that "diagonal" correlators are exactly the same as thermal correlators at leading orders in the large $N$ expansion. We also describe "off diagonal" correlators that decay in time, and are given simply in terms of thermal correlators. We also solved the model numerically for low values of $N$ and noticed that subsystems become typically entangled after an interaction time. In addition, we identified configurations in two dimensional nearly-$AdS_2$ gravity with similar symmetries. These gravity configurations correspond to states with regions behind horizons. The region behind the horizon can be made accessible by modifying the Hamiltonian of the boundary theory using the the knowledge of the particular microstate. The set of microstates in the SYK theory with these properties generates the full Hilbert space.

研究动机与目标

• 通过简单的局部迈克拉纳条件和欧几里得时间演化到低能量，定义 SYK 模型中的一类纯态。
• 表明在这些状态中的对角二点相关在大 N 极限的一级近似下再现热相关。
• 表征非对角相关及其在洛伦兹时间演化下的行为。
• 给出来自精确对角化的数值证据，表明子系统在有限的作用时间后变得纠缠。
• 提出一个近 AdS2 的引力解释，与 SYK 状态对称性相呼应，并通过修改边界哈密顿量使得能够访问背后视界区域。

提出的方法

• 使用具有随机四阶耦合的迈克拉纳分量 SYK 模型并进行 O(N) 对称性分析。
• 通过对一对迈克拉纳费米子设定特征值条件来定义边界纯态 |B_s>，形成一个 2^(N/2) 维的基。
• 通过欧几里得时间 ℓ 演化这些态，得到低能态 |B(ℓ)> ，其中 β=2ℓ，并在这些态中计算相关。
• 应用复制技巧和大 N 的 Schwinger-Dyson 方程，证明对角相关 G_diag(τ,τ') 在一级近似下等于 Gβ(τ−τ')，而非对角相关 G_off(τ,τ') 与热相关的乘积有关。
• 使用 Δ=1/4 的共形两点函数 Gβ(τ) 进行低能（几乎共形）分析，适用于 q=4 SYK。
• 对于有限 N（例如 N=24、30）进行精确对角化，以研究 |B> 状态系数、相关衰减和纠缠熵增长。
• 讨论一个近 AdS2 的引力解释：边界冲击波产生背后视界的区域，并将其与可穿越的边界修改相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 1/N 的一级近似下，所构造纯态中的对角两点函数是否重现有限温度的热相关？
• RQ2 非对角相关的行为如何，能否表示成热相关的形式？
• RQ3 子系统纠缠的时间演化是怎样的，它们多久接近典型随机态的纠缠？
• RQ4 在近 AdS2 中哪些引力配置对应这些 SYK 纯态，边界修改是否能揭示背后视界区域？
• RQ5 有限 N 的数值结果在多大程度上支持对角/非对角相关和重叠的大 N 解析预测（例如 ⟨B_s|e^{-2ℓH}|B_s⟩）？

主要发现

• 纯态中的对角相关在大 N 的一级近似下与热相关完全相同。
• 非对角相关随时间衰减，并且可以简单地表示为热相关的函数，至多有 1/N 的修正。
• 数值对角化显示子系统在有限的相互作用时间后通常会纠缠，纠缠饱和度大致与子系统大小无关。
• 一个引力解释将近 AdS2 配置与冲击波及背后视界区域对应起来，暗示一组带有光滑视界的微态基，通过边界哈密顿量修改可访问。
• 对初始 |B_s> 状态中的符号选择取平均，重现热配分；而单个 |B_s> 状态则在一级近似下得到近似热的相关。
• 低能共形极限给出 G_off(t,t') 的显式形式，其随时间衰减的方式与热化一致。