[论文解读] Pure $SU(2)$ gauge theory partition function and generalized Bessel kernel

Pavlo Gavrylenko, O. Lisovyy|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用 8

一句话总结

该论文证明了在自对偶 $\Omega$-背景下的纯 $\upsilon=2$ $\mathrm{SU}(2)$ 规范理论的双重配分函数等价于广义贝塞尔核的弗雷德霍姆行列式，并与 $D_8$ 型的 Painlevé III 方程的一般 $\tau$ 函数一致。该结果通过弗雷德霍姆行列式表示，将瞬子配分函数与等单蒙德罗米克 $\tau$ 函数联系起来，主余子式展开则给出了对 Young 图对的 Nekrasov 组合求和。

ABSTRACT

We show that the dual partition function of the pure $\mathcal N=2$ $SU(2)$ gauge theory in the self-dual $Ω$-background (a) is given by Fredholm determinant of a generalized Bessel kernel and (b) coincides with the tau function associated to the general solution of the Painlevé III equation of type $D_8$ (radial sine-Gordon equation). In particular, the principal minor expansion of the Fredholm determinant yields Nekrasov combinatorial sums over pairs of Young diagrams.

研究动机与目标

• 建立纯 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(2)$ 规范理论在双重配分函数与 $D_8$ 型 Painlevé III 方程的一般 $\tau$ 函数之间的精确对应关系。
• 利用广义贝塞尔核，推导出双重配分函数的弗雷德霍姆行列式表示。
• 证明该行列式的主余子式展开可重现对 Young 图对的 Nekrasov 组合求和。
• 通过 $c=1$ CFT 对应关系，将规范理论配分函数与等单蒙德罗米克系统及共形场论联系起来。

提出的方法

• 双重配分函数被定义为平移真空期望值的求和：$\mathcal{Z}^{\mathrm{dual}}_{\mathrm{SU}(2)}(t|\nu,\eta) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{4\pi in\eta} \mathcal{Z}_{\mathrm{SU}(2)}(t|\nu+n)$。
• Nekrasov 瞬子配分函数被表示为对 Young 图对 $\mathsf{Y}^+, \mathsf{Y}^-$ 的双重求和，分母中包含依赖于 $\nu$ 的 $Z_{\mathrm{bif}}$ 因子的有理函数。
• 广义贝塞尔核 $K$ 由 Barnes $G$-函数与 $\Gamma$-函数构造，其参数与 $\nu$ 及 $\Omega$-背景的形变相关。
• 证明弗雷德霍姆行列式 $\operatorname{det}(\mathbb{1} - K)$ 在归一化因子 $C(\nu)$ 的修正下可重现双重配分函数。
• 核 $K$ 由黎曼-希尔伯特问题导出，并满足定理 3.2 中定义的广义贝塞尔核的性质。
• 证明依赖于 Pochhammer 符号、Barnes $G$-函数的恒等式，以及 Young 图中方块数的平衡条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自对偶 $\Omega$-背景下的纯 $\mathrm{SU}(2)$ 规范理论的双重配分函数是否具有弗雷德霍姆行列式表示？
• RQ2 该弗雷德霍姆行列式是否等价于 $D_8$ 型 Painlevé III 方程的一般 $\tau$ 函数？
• RQ3 该弗雷德霍姆行列式的主余子式展开是否可识别为对 Young 图对的 Nekrasov 组合求和？
• RQ4 在纯规范理论的强耦合区，$c=1$ CFT 对应关系如何体现？
• RQ5 拉格朗日乘子 $\eta$ 在控制双重配分函数中真空期望值 $\sigma$ 的作用是什么？

主要发现

• 双重配分函数 $\mathcal{Z}^{\mathrm{dual}}_{\mathrm{SU}(2)}(t|\nu,\eta)$ 被证明等于弗雷德霍姆行列式 $C(\nu)t^{\nu^2}\operatorname{det}(\mathbb{1} - K)$，其中 $K$ 为具有 $\sigma = \nu - \frac{1}{2}$ 的广义贝塞尔核。
• 弗雷德霍姆行列式表示证实了双重配分函数与 $D_8$ 型 Painlevé III 方程的一般 $\tau$ 函数一致，解决了长期存在的对应关系问题。
• 弗雷德霍姆行列式的主余子式展开产生对 Young 图对的 Nekrasov 组合求和，明确恢复了瞬子配分函数。
• 归一化因子 $C(\nu)$ 由 $\left[\prod_{s=\pm1} G(1+2s\nu)\right]^{-1}$ 给出，其中 $G$ 为 Barnes $G$-函数。
• 证明依赖于 Pochhammer 符号的恒等式及平衡条件 $\sharp(\mathsf{h}^+) + \sharp(\mathsf{h}^-) = \sharp(\mathsf{p}^+) + \sharp(\mathsf{p}^-)$，确保了行列式展开的一致性。
• 该结果证实了在 $\epsilon \to 0$ 极限下，Seiberg-Witten 预势 $\mathcal{F}_0$ 被正确恢复，验证了低能有效作用量的微观推导。