[论文解读] Purely log terminal threefolds with non-normal centres in characteristic two

Paolo Cascini, Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文在特征二下构造了极小模型程序中关键结果的反例，表明纯对数终端（plt）三叉对可具有非正规中心、非有理或非科恩-麦克aul伊的klt奇点，以及具有非零中间上同调的klt法诺三叉。通过构造一个违反卡瓦马塔-维埃韦格消去定理的klt德尔皮诺面的锥，作者证明了在特征二下经典消去定理失效，从而动摇了正特征域上双有理几何的基础工具。

ABSTRACT

We show that many classical results of the minimal model programme do not hold over an algebraically closed field of characteristic two. Indeed, we construct a three dimensional plt pair whose codimension one part is not normal, a three dimensional klt singularity which is not rational nor Cohen-Macaulay, and a klt Fano threefold with non-trivial intermediate cohomology.

研究动机与目标

• 研究极小模型程序的经典结果，特别是plt对中系数为1的部分的正规性，在正特征下是否成立。
• 确定卡瓦马塔-维埃韦格消去定理（在特征零中至关重要）是否在特征二下失效。
• 在正特征下构造klt奇点和对数全Canonical扩张标准性质的显式反例。
• 证明特征二下的klt法诺三叉可具有非平凡的中间上同调，与特征零下的行为相矛盾。

提出的方法

• 在违反特征二下卡瓦马塔-维埃韦格消去定理的klt德尔皮诺面上构造一个类似锥的纤维化。
• 在满足ρ(T)=1的曲面T上使用$\mathbb{P}^1$-丛构造，并通过收缩负截面形成三叉Z。
• 应用相对与绝对Serre消去定理，计算高阶直接像R^1g_*\mathcal{O}_Y与R^1g_*\mathcal{O}_Y(-E^Y)，以检测中心E^Z的非正规性。
• 在全空间Y上分析恰当序列，以显示对数全Canonical限制映射的满射性失败。
• 利用曲面T与除子A的性质，验证所构造的三叉Z为$\mathbb{Q}$-因子化、klt且法诺，且ρ(Z)=1。
• 建立R^1h_*\mathcal{O}_W与R^1g_*\mathcal{O}_Y之间的同构，并计算h^0(Z, R^1g_*\mathcal{O}_Y) = q-1，以确定h^2(Z, \mathcal{O}_Z)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征二下，plt对的系数为1的部分是否仍保持正规，如同在特征零下一样？
• RQ2 卡瓦马塔-维埃韦格消去定理是否可能在特征二下对klt德尔皮诺面失效，从而产生新反例？
• RQ3 是否存在特征二下的klt法诺三叉，其H^2(X, \mathcal{O}_X)非零，与特征零情况相矛盾？
• RQ4 在正特征下，即使对数正则除子为半正则，对数全Canonical限制映射是否可能不满足满射性？
• RQ5 是否存在特征二下既非有理也非科恩-麦克aul伊的klt奇点，从而违反特征零下的标准性质？

主要发现

• 在特征二下存在一个三维$\mathbb{Q}$-因子化plt对(Z, E)，其中E为一个非正规的素除子，违反了特征零下的正规性性质。
• 在特征二下存在一个klt法诺三叉Z，其满足dim_k H^2(Z, \mathcal{O}_Z) = r，对任意正整数r成立，表明存在非平凡的中间上同调。
• 在特征二下存在一个klt奇点Z，其既非有理也非科恩-麦克aul伊，与特征零下的分类相矛盾。
• 对任意m > 0，限制映射H^0(Y, \mathcal{O}_Y(mm_0(K_Y + E + B))) \to H^0(E, \mathcal{O}_E(mm_0(K_Y + E + B)))均不满足满射性，表明扩张定理的失效。
• 当q ≥ 2时，所构造的三叉Z非科恩-麦克aul伊，因为H^1(Z, \omega_Z) = 0且H^2(Z, \mathcal{O}_Z) = q-1 ≠ 0，违反了科恩-麦克aul伊条件。
• 通过曲面T计算出H^1(T, \mathcal{O}_T(A)) = q-1，从而确定h^0(Z, R^1g_*\mathcal{O}_Y) = q-1，直接将构造与非零上同调联系起来。