[论文解读] Putting probabilities first. How Hilbert space generates and constrains them

Michael Janas, Michael E. Cuffaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 138被引用 4

一句话总结

本文利用相关数组和希尔伯特空间中的几何表示，阐明了量子关联（特别是自旋-1/2粒子的 singlet 态）如何受椭圆体（elliptope）这一数学结构的约束，该结构源自玻恩法则和内积。文章主张量子概率是基本的，由希尔伯特空间结构生成，而贝尔型非定域性并非量子力学的缺陷，而是其特征，其中局部隐变量模型受到形成于椭圆体内部的抽奖模拟所约束，构成多面体。

ABSTRACT

We use Bub's (2016) correlation arrays and Pitowksy's (1989b) correlation polytopes to analyze an experimental setup due to Mermin (1981) for measurements on the singlet state of a pair of spin-$\frac12$ particles. The class of correlations allowed by quantum mechanics in this setup is represented by an elliptope inscribed in a non-signaling cube. The class of correlations allowed by local hidden-variable theories is represented by a tetrahedron inscribed in this elliptope. We extend this analysis to pairs of particles of arbitrary spin. The class of correlations allowed by quantum mechanics is still represented by the elliptope; the subclass of those allowed by local hidden-variable theories by polyhedra with increasing numbers of vertices and facets that get closer and closer to the elliptope. We use these results to advocate for an interpretation of quantum mechanics like Bub's. Probabilities and expectation values are primary in this interpretation. They are determined by inner products of vectors in Hilbert space. Such vectors do not themselves represent what is real in the quantum world. They encode families of probability distributions over values of different sets of observables. As in classical theory, these values ultimately represent what is real in the quantum world. Hilbert space puts constraints on possible combinations of such values, just as Minkowski space-time puts constraints on possible spatio-temporal constellations of events. Illustrating how generic such constraints are, the equation for the elliptope derived in this paper is a general constraint on correlation coefficients that can be found in older literature on statistics and probability theory. Yule (1896) already stated the constraint. De Finetti (1937) already gave it a geometrical interpretation.

研究动机与目标

• 使用基于相关数组的几何框架，阐明量子关联的运动学约束。
• 证明自旋-1/2粒子的 singlet 态中的量子关联被限制在椭圆体之内，该椭圆体由玻恩法则和内积定义。
• 研究这些量子关联是否能通过预印有所有测量设置结果的古典抽奖模拟实现，揭示一类局部隐变量模型。
• 将分析推广至更高自旋的 singlet 态，表明量子关联集合保持为椭圆体，而经典模拟结果随自旋增加而趋近于椭圆体。
• 倡导 Bubism——一种基于信息论的量子力学诠释，其中概率和期望值是基本的，由希尔伯特空间结构推导而来。

提出的方法

• 使用自旋-1/2粒子 singlet 态导出的相关数组，将其映射到非信号立方体中。
• 通过希尔伯特空间中的内积，几何地表示量子关联集合为椭圆体，该椭圆体由贝尔界限和玻恩法则定义。
• 通过在所有测量设置下预印结果的抽奖模拟，建模局部隐变量理论，以模拟经典关联。
• 表明抽奖模拟可实现的关联形成一个四面体（在自旋-1/2情况下）或更高自旋时更复杂的多面体，均包含于椭圆体之内。
• 使用 Wigner d-矩阵将形式化推广至更高自旋系统，保持非信号性和反关联结构。
• 追溯椭圆体约束的历史根源至 Yule（1897）和 de Finetti（1937），表明其在概率论中的基础性作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特空间内积如何生成并约束自旋-1/2 singlet 态中可能的量子关联集合？
• RQ2 在自旋-1/2情况下，量子关联（椭圆体）与抽奖模拟生成的古典关联（多面体）之间存在何种几何关系？
• RQ3 随着粒子自旋的增加，对量子关联的古典抽奖模拟的约束如何变化？
• RQ4 为何量子力学的贝尔型非定域关联并非缺陷，而是其概率结构的必要特征？
• RQ5 椭圆体在多大程度上可被视为与量子力学无关的关联系数的普遍约束？

主要发现

• 自旋-1/2 singlet 态的量子关联集合在几何上由椭圆体表示，该椭圆体是贝尔界限和玻恩法则定义的凸集。
• 对这些关联的古典抽奖模拟产生一个包含于椭圆体内的四面体，表明并非所有量子关联都能由局部隐变量解释。
• 对于更高自旋的 singlet 态，量子关联集合仍为椭圆体，而抽奖模拟生成的关联形成顶点和面更多、随自旋增加而趋近椭圆体的多面体。
• 椭圆体方程是关联系数的一般约束，早于量子力学即由 Yule（1897）和 de Finetti（1937）识别。
• 本文确立了‘小’和‘大’测量问题并非缺陷，而是与 Bubism 的信息诠释一致的量子力学特征。
• 希尔伯特空间并不直接表示物理态，而是编码可观测量上的概率分布族，其结构施加了类似于时空几何的运动学约束。