[论文解读] Pythagorean fuzzy graphs: Some results

Rajkumar Verma, José M. Merigó+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Multi-Criteria Decision Making参考文献 49被引用 12

一句话总结

本文提出毕达哥拉斯模糊图（PFGs）作为模糊图论的扩展，以比传统模糊集更有效地建模网络中的不确定性和不精确性。通过整合毕达哥拉斯模糊集——其中隶属度与非隶属度满足一个更宽松的约束条件——作者定义了PFGs，建立了运算规则，证明了相关性质，并探讨了同构性、强图和完备性，为在具有不确定数据的复杂系统中进行决策提供了稳健的框架。

ABSTRACT

Graph theory has successfully used to solve a wide range of problems encountered in diverse fields such as medical sciences, neural networks, control theory, transportation, clustering analysis, expert systems, image capturing, and network security. In past few years, a number of generalizations of graph theoretical concepts have developed to model the impreciseness and uncertainties in graphical network problems. A Pythagorean fuzzy set is a powerful tool for describing the vague concepts more precisely. The Pythagorean fuzzy set-based models provide more flexibility in handling the human judgment information as compared to other fuzzy models. The objective of this paper is to apply the concept of Pythagorean fuzzy sets to graph theory. This work introduces the notion of Pythagorean fuzzy graphs (PFGs) and describes a number of methods for their construction. We then define some basic operations on PFGs and prove some of their important properties. The work also discusses the notion of isomorphism between Pythagorean fuzzy graphs with a numerical example. Further, we introduce the concept of the strong Pythagorean fuzzy graph and the complete Pythagorean fuzzy graph. In addition, the paper also proves some results on self-complementary, self-weak complementary with Pythagorean fuzzy strong graphs and Pythagorean fuzzy complete graphs.

研究动机与目标

• 通过将毕达哥拉斯模糊集融入经典图论，以处理网络建模中的不确定性和模糊性。
• 以精确的数学结构定义并形式化毕达哥拉斯模糊图（PFGs）的概念。
• 开发PFGs上的基本运算，并证明其关键代数与结构性质。
• 通过数值实例研究PFGs之间的同构性，以验证结构等价性。
• 引入并分析PFGs的特殊类别，包括强图与完备毕达哥拉斯模糊图，并研究其性质。

提出的方法

• 通过满足 μ² + ν² ≤ 1 条件的隶属度与非隶属度度量来定义毕达哥拉斯模糊图，从而在表示人类判断时具有更大的灵活性。
• 提出PFGs的标准运算，如并、连接、复合与补运算，并证明其封闭性与结构性质。
• 通过数值实例引入PFGs之间同构性的概念，建立两个PFGs在何种条件下具有结构等价性的条件。
• 定义强PFGs，其中边的隶属度等于其顶点隶属度的最小值，以确保与底层模糊结构的一致性。
• 定义完备PFGs，其中每对不同的顶点之间均以最大可能的隶属度连接边，并推导与完备性相关的性质。
• 研究自补与自弱补PFGs，分析PFG与其补图或弱补图同构的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何正式地将毕达哥拉斯模糊集整合到图论中，以建模网络结构中的不确定性？
• RQ2 毕达哥拉斯模糊图的基本运算有哪些，它们满足哪些性质？
• RQ3 在何种条件下两个毕达哥拉斯模糊图是同构的，如何通过数值实例验证这一关系？
• RQ4 强图与完备毕达哥拉斯模糊图具有哪些结构性质，它们与经典图有何不同？
• RQ5 毕达哥拉斯模糊图在何种条件下是自补或自弱补的，其具有何种含义？

主要发现

• 本文成功定义了毕达哥拉斯模糊图，并证明并、连接与复合等运算能够保持PFGs的结构与代数性质。
• 证明了可通过数值实例验证PFGs之间的同构性，为在不确定性条件下比较图结构提供了实用方法。
• 正式化了强PFGs的概念，其中边的隶属度由其顶点隶属度的最小值决定，确保与底层模糊逻辑的一致性。
• 引入了完备PFGs，其中所有顶点对均以最大可能的边隶属度相连，其性质与完备性及对称性相关联。
• 推导出PFGs为自补或自弱补的条件，表明此类图满足特定的对称性与隶属度约束。
• 由于毕达哥拉斯模糊集中 μ² + ν² ≤ 1 的松弛约束，该框架在建模人类判断与不确定性方面相比传统模糊图表现出更强的灵活性。