[论文解读] $q$-Analogue of the Dunkl transform on the real line

Néji Bettaibi, Rym H. Bettaieb|ArXiv.org|Dec 29, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 7被引用 23

一句话总结

本文通过q微分算子和q贝塞尔函数，在实直线上引入了Dunkl变换的q-模拟，建立了其反演公式和Plancherel定理。通过q-Riemann-Liouville和q-Weyl变换定义了q-Dunkl交织算子，并证明了一个关键关系，将q-Dunkl变换与q²-模拟傅里叶变换联系起来，将经典Dunkl理论扩展至调和分析中的q-结构。

ABSTRACT

In this paper, we consider a $q$-analogue of the Dunkl operator on $\mathbb{R}$, we define and study its associated Fourier transform which is a $q$-analogue of the Dunkl transform. In addition to several properties, we establish an inversion formula and prove a Plancherel theorem for this $q$-Dunkl transform. Next, we study the $q$-Dunkl intertwining operator and its dual via the $q$-analogues of the Riemann-Liouville and Weyl transforms. Using this dual intertwining operator, we provide a relation between the $q$-Dunkl transform and the $q^2$-analogue Fourier transform introduced and studied by R. Rubin.

研究动机与目标

• 通过q微分算子和q特殊函数，在实直线上发展Dunkl变换的q-模拟。
• 为q-Dunkl变换建立基本调和分析性质，包括反演公式和Plancherel定理。
• 通过q-Riemann-Liouville和q-Weyl变换定义并研究q-Dunkl交织算子及其对偶。
• 将q-Dunkl变换与先前工作中引入的q²-模拟傅里叶变换联系起来。

提出的方法

• 通过q²-模拟微分算子∂q定义q-Dunkl算子，将经典Dunkl算子推广至q-结构。
• 利用Mehler型q积分表示构造q-Dunkl算子的本征函数，并满足正交关系。
• 通过q-Riemann-Liouville和q-Weyl变换定义q-Dunkl交织算子及其对偶，推广经典转位理论。
• 将q-Dunkl变换定义为涉及q-Dunkl本征函数ψλα,q和权| x |²α+1 dₚx的积分变换。
• 通过交织算子的对偶性和变换核的对称性推导反演公式。
• 通过证明变换在q加权测度下的L²空间上是等距同构，证明Plancherel定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Dunkl算子及其关联的傅里叶变换推广至q-模拟框架？
• RQ2 q-Dunkl算子的本征函数的谱性质和积分表示是什么？
• RQ3 如何通过q积分变换构造q-Dunkl交织算子及其对偶？
• RQ4 q-Dunkl变换与q²-模拟傅里叶变换之间存在何种关系？
• RQ5 能否为q-Dunkl变换建立反演公式和Plancherel定理？

主要发现

• q-Dunkl变换具有反演公式：(F_D^{α,q})⁻¹(f)(x) = F_D^{α,q}(f)(-x)，对S_q(R_q)中的函数成立。
• Plancherel公式‖F_D^{α,q}(f)‖_{2,α,q} = ‖f‖_{2,α,q} 成立，证明该变换在q加权测度下的L²空间上是等距同构。
• q-Dunkl变换可唯一延拓为L²_{α,q}(R_q)上的等距同构，其逆由F_D^{α,q}(f)(-x)给出。
• q-Dunkl变换满足关系F_D^{α,q}(f) = [tV_{α,q}(f)]^̂(·;q²)，通过双重交织算子将其与q²-模拟傅里叶变换联系起来。
• q-Dunkl算子的本征函数ψλα,q具有Mehler型q积分表示，并在q积分意义下满足正交关系。
• q-Dunkl变换保持S_q(R_q)的Schwartz空间不变，且其像在变换后仍属于同一空间。