[论文解读] $q$-Analogues of two Ramanujan-type formulas for $1/\pi$

Victor J. W. Guo, Ji-Cai Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文利用 $q$-WZ 对推导出两个 Ramanujan 型 $1/\pi$ 公式的 $q$-类比，证明了涉及 $q$-Pochhammer 符号和 $q$-整数的两个无穷级数恒等式。关键结果是推导出当 $q \to 1^{-}$ 时可退化为原始 Ramanujan 公式的 $q$-级数，其精确闭式表达为无穷 $q$-乘积展开形式。

ABSTRACT

We give $q$-analogues of the following two Ramanujan-type formulas for $1/\\pi$: \\begin{align*} \\sum_{k=0}^\\infty (6k+1)\\frac{(\\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 4^k} =\\frac{4}{\\pi} \\quad\ ext{and}\\quad \\sum_{k=0}^\\infty (-1)^k(6k+1)\\frac{(\\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 8^k } =\\frac{2\\sqrt{2}}{\\pi}. \\end{align*} Our proof is based on two $q$-WZ pairs found by the first author in his earlier work.

研究动机与目标

• 建立第一作者最初猜想的两个 Ramanujan 型 $1/\pi$ 级数的 $q$-类比。
• 证明当 $q \to 1^{-}$ 时，$q$-级数收敛于包含 $q$-Pochhammer 符号的闭式乘积。
• 将这些结果推广至奇数 $n$ 的 $\Phi_n(q)^2$ 模 $q$-超同余，关联到 $p$-进性质。
• 为 Sun 的 $p$-进同余公式 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{8^k}$ 模 $p^2$ 提供严格的 $q$-类比。

提出的方法

• 利用先前工作中已知的两个 $q$-WZ 对推导出 $q$-超几何恒等式。
• 应用 $q$-WZ 方法将有限和转化为涉及 $q$-移位阶乘的叠缩恒等式。
• 应用 Slater 恒等式的 $q$-类比，以计算当 $n \to \infty$ 时的无穷级数极限。
• 利用 $q$-级数变换与乘积恒等式，将所得表达式简化为无穷 $q$-乘积形式。
• 应用模 $\Phi_n(q)^2$ 的 $q$-同余技术，利用分圆多项式性质。
• 应用一个终止型 $q$-Whipple 求和，以证明定理 1.2 中的 $q$-超同余。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为涉及 $\sum (6k+1)\frac{(1/2)_k^3}{k!^3 4^k}$ 和 $\sum (-1)^k(6k+1)\frac{(1/2)_k^3}{k!^3 8^k}$ 的两个 Ramanujan 型 $1/\pi$ 级数构造出 $q$-类比？
• RQ2 当 $q \to 1^{-}$ 时，能还原为这些 $1/\pi$ 公式的精确闭式 $q$-级数表达式是什么？
• RQ3 这些 $q$-类比在模 $\Phi_n(q)^2$（$n$ 为奇数）下如何表现？它们暗示了哪些 $p$-进同余？
• RQ4 能否利用 $q$-类比推导出 Sun 的 $p$-进同余公式（关于中心二项式系数和模 $p^2$）的 $q$-版本？
• RQ5 $q$-WZ 对与 $q$-超几何恒等式在证明这些 $q$-类比中起到什么作用？

主要发现

• 第一个 Ramanujan 公式的 $q$-类比已证明为 $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k^2}[6k+1]\frac{(q;q^2)_k^2(q^2;q^4)_k}{(q^4;q^4)_k^3} = \frac{(1+q)(q^2;q^4)_\infty(q^6;q^4)_\infty}{(q^4;q^4)_\infty^2}$。
• 第二个 Ramanujan 公式的 $q$-类比已证明为 $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k q^{3k^2}[6k+1]\frac{(q;q^2)_k^3}{(q^4;q^4)_k^3} = \frac{(q^3;q^4)_\infty(q^5;q^4)_\infty}{(q^4;q^4)_\infty^2}$。
• 当 $q \to 1^{-}$ 时，两个 $q$-级数均收敛于原始的 Ramanujan 型 $1/\pi$ 公式，确认了其 $q$-类比地位。
• $q$-级数满足模 $\Phi_n(q)^2$ 的 $q$-超同余，其中 $n$ 为奇数，表达式为 $\sum_{k=0}^{(n-1)/2} q^{k^2}\frac{(q;q^2)_k}{(q^4;q^4)_k} \equiv (-q)^{(1-n^2)/8} \pmod{\Phi_n(q)^2}$。
• 证明依赖于 Whipple 的 ${}_3F_2$ 求和的 $q$-类比，该类比用于计算模 $\Phi_n(q)^2$ 下的有限和。
• 结果证实了第一作者关于 van Hamme 超同余的 $q$-类比的两个猜想。