[论文解读] Q and Q-prime curvature in CR geometry

Kengo Hirachi|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文引入了CR几何中的Q-Prime曲率作为二级Q-曲率不变量，表明其总积分（即总Q-Prime曲率）在CR结构形变下于标准CR球面处达到局部最大值。通过CR结构的形变复形与表示理论，作者推导出一个变分公式，并证明总Q-Prime曲率的Hessian矩阵为半正定，其核与阻碍函数及Chern-Moser张量的消失相关，从而确认球面为临界点。

ABSTRACT

The Q-curvature has been playing a central role in conformal geometry since its discovery by T. Branson. It has natural analogy in CR geometry, however, the CR Q-curvature vanishes on the boundary of a strictly pseudoconvex domain in C^{n+1} with a natural choice of contact form. This fact enables us to define a "secondary" Q-curvature, which we call Q-prime curvature (it was first introduced by J. Case and P. Yang in the case n=1). The integral of the Q-prime curvature, the total Q-prime curvature, is a CR invariant of the boundary. When n=1, it agrees with the Burns-Epstein invariant, which is a Chern-Simons type invariant in CR geometry. For all n>=1, it has non-trivial variation under the deformation of domains. Combining the variational formula with the deformation complex of CR structures, we show that the total Q-prime curvature takes local maximum at the standard CR sphere in a formal sense.

研究动机与目标

• 在标准Q-曲率在严格强伪凸边界上消失的高维CR流形中，定义二级Q-曲率，即Q-prime曲率。
• 建立总Q-prime曲率作为全局CR不变量，其在三维情形下推广了Burns-Epstein不变量。
• 利用CR结构的形变复形分析总Q-prime曲率在CR结构形变下的变化。
• 通过Hessian分析与表示理论，证明总Q-prime曲率在形式意义下于标准CR球面处达到局部最大值。
• 探讨总Q-prime曲率的Hessian与部分可积CR结构可积性条件之间的联系。

提出的方法

• 将Q-prime曲率定义为CR几何中的二级不变量，类比于共形几何中的二级Q-曲率。
• 利用环境度量构造，将CR边界局部不变量表示为曲率射流的形式。
• 应用CR结构的形变复形（作为广义Bernstein-Gelfand-Gelfand复形实现）分析总Q-prime曲率的二阶变分。
• 将总Q-prime曲率的Hessian计算为形变复形中丛之间的CR-不变、自伴微分算子。
• 利用表示理论确定Hessian算子的核，并建立其半正定性。
• 将Hessian核的消失与阻碍函数及Chern-Moser张量的消失相联系，从而刻画一阶球面对应的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准Q-曲率消失的高维CR流形中，是否存在二级Q-曲率？
• RQ2 能否证明总Q-prime曲率是CR不变量，且在三维情形下推广了Burns-Epstein不变量？
• RQ3 在CR结构形变下，总Q-prime曲率是否在标准CR球面处达到最大值？
• RQ4 总Q-prime曲率的Hessian的核具有何种几何意义？
• RQ5 总Q-prime曲率的Hessian如何与CR结构的可积性及阻碍理论相关？

主要发现

• 通过Hessian的半正定性，表明总Q-prime曲率在形式意义下于标准CR球面处取局部最大值。
• 总Q-prime曲率的Hessian是形变复形中丛之间的CR-不变、自伴微分算子，其核对应于 $ D_0^+ $ 与 $ D_0^- $ 核的和。
• 当 $ n \neq 1 $ 时，条件 $ \text{ker}(D_0^+) + \text{ker}(D_0^-) = \text{ker}(R_1^- D_0^+) $ 意味着核中的形变对应于一阶球面对应的形变。
• 总Q-prime曲率的Hessian为半正定，其核捕获了保持一阶球面对应性的非平凡形变方向。
• 结果确认标准CR球面是总Q-prime曲率泛函的临界点，与三维情形下Burns-Epstein不变量的已知极小性结果一致。
• 对于部分可积CR结构，总Q-曲率为非平凡，其Hessian揭示了与可积性条件的联系，但并不能完全刻画可积结构。