[论文解读] $q$ deformed formulation of Hamiltonian SU(3) Yang-Mills theory

Tomoya Hayata, Yoshimasa Hidaka|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于威尔逊线网络的 $(2+1)$ 维 SU(3) 规范场论的 $q$-形变哈密顿量形式，实现了规范对称性作为量子群 $Σ⁡(3)_k$。通过基于无限投影纠缠对态（iPEPS）的平均场计算，该方法在大 $k$ 时与蒙特卡罗模拟在定量上表现出良好一致性，重现了 SU(3) 理论的关键特征，如弦张力和卡西米尔标度，展示了张量网络在非阿贝尔规范场论中的潜力。

ABSTRACT

We study $\mathrm{SU}(3)$ Yang-Mills theory in $(2+1)$ dimensions based on networks of Wilson lines. With the help of the $q$ deformation, networks respect the (discretized) $\mathrm{SU}(3)$ gauge symmetry as a quantum group, i.e., $\mathrm{SU}(3)_k$, and may enable implementations of $\mathrm{SU}(3)$ Yang-Mills theory in quantum and classical algorithms by referring to those of the stringnet model. As a demonstration, we perform a mean-field computation of the groundstate of $\mathrm{SU}(3)_k$ Yang-Mills theory, which is in good agreement with the conventional Monte Carlo simulation by taking sufficiently large $k$. The variational ansatz of the mean-field computation can be represented by the tensor networks called infinite projected entangled pair states. The success of the mean-field computation indicates that the essential features of Yang-Mills theory are well described by tensor networks, so that they may be useful in numerical simulations of Yang-Mills theory.

研究动机与目标

• 开发一种在 $(2+1)$ 维中保持规范不变性的 SU(3) 规范场论的正则化哈密顿量形式，以支持数值模拟。
• 通过构建量子群 $\mathrm{SU}(3)_k$ 将 $q$-形变方法从 SU(2) 推广至 SU(3)，以近似连续的规范群。
• 通过 iPEPS 基平均场计算展示张量网络方法（特别是 iPEPS）在模拟非阿贝尔规范场论中的可行性，计算基态波函数。
• 将 $\mathrm{SU}(3)_k$ 平均场计算结果与完整 SU(3) 理论的常规蒙特卡罗模拟结果进行比较，以验证该方法。
• 评估在 $k \to \infty$ 极限下，如弦张力和卡西米尔标度等可观测量的收敛性，以确定实现物理精度所需的 $k$ 值。

提出的方法

• 在正方形晶格上利用威尔逊线网络构建科古-苏斯金德哈密顿量，通过 $\mathrm{SU}(3)_k$ 量子群对称性强制实现规范不变性。
• 对 SU(3) 群实施 $q$-形变，以离散化连续规范群，通过依赖于 $k$ 的表示将无限维希尔伯特空间映射为有限维空间。
• 采用基于无限投影纠缠对态（iPEPS）的变分试探波函数来表示基态波函数，从而实现期望值的高效计算。
• 使用基于图的收缩技术计算威尔逊圈的期望值，弦张力通过大面积圈获得。
• 在 iPEPS 试探波函数下通过优化变分参数执行平均场计算，可观测量通过张量网络收缩评估。
• 在不同 $k$ 和 $1/g^2$ 值下，将 $\mathrm{SU}(3)_k$ 平均场方法的结果（尤其是弦张力和卡西米尔标度）与 SU(3) 蒙特卡罗模拟结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 $q$-形变的 $\mathrm{SU}(3)_k$ 量子群形式是否能在保持 SU(3) 规范场论基本非阿贝尔结构的同时，实现有限维模拟？
• RQ2 基于 iPEPS 的 $\mathrm{SU}(3)_k$ 规范场论平均场计算在多大程度上重现了完整 SU(3) 蒙特卡罗模拟中观测到的弦张力和卡西米尔标度？
• RQ3 $\mathrm{SU}(3)_k$ 理论中为准确逼近 $k \to \infty$ 极限并恢复原始 SU(3) 理论的物理可观测量，所需的 $k$ 值是多少？
• RQ4 威尔逊圈中的有限尺寸效应和关联性如何影响平均场 iPEPS 试探波函数的准确性？是否可通过更复杂的张量网络试探波函数加以改进？
• RQ5 张量网络方法（如 iPEPS）是否可扩展至非平均场层次，以模拟非阿贝尔规范场论中的实时动力学和胶球质量？

主要发现

• 使用 iPEPS 的 $\mathrm{SU}(3)_k$ 规范场论平均场计算在大 $k$ 时与完整 SU(3) 理论的蒙特卡罗模拟在定量上表现出良好一致性。
• 在 $k=50$ 时，$\mathrm{SU}(3)_k$ 平均场计算中基本威尔逊圈的弦张力与蒙特卡罗数据匹配良好，但因平均场近似仍存在微小偏差。
• 在中间耦合区域（$1/g^2 \sim 3-30$）内，$k=50$ 时卡西米尔标度 $\sigma_a \propto C_2(a)$ 成立，但在强耦合相和拓扑相中发生破坏。
• 在 $k$-形变理论中不可约表示的数量按 $N_v = k^2/2 + 3k/2 + 1$ 缩放，当 $k=50$ 时达到 $N_v = 1326$，表明希尔伯特空间维数显著但有限。
• iPEPS 试探波函数的成功表明张量网络能够捕捉杨-米尔斯理论的关键特征，支持其在未来 QCD 模拟中的应用。
• 该方法通过基于图的张量收缩实现了威尔逊圈期望值和弦张力的计算，为非阿贝尔规范场论提供了一个可扩展的框架。