[论文解读] q-deformed Fourier Theory

Jochen Schwenk|ArXiv.org|Jun 24, 1994

Mathematical functions and polynomials被引用 5

一句话总结

本文通过在希尔伯特空间中构造无界位置算符和动量算符的自伴扩张，为一维q-变形海森伯代数发展了一种q-变形傅里叶变换。该解产生了一类与q-变形三角函数相关联、由椭圆函数表征的一参数傅里叶变换族，推广了非交换量子结构中的标准傅里叶理论。

ABSTRACT

We solve the problem of Fourier transformation for the one-dimensional $q$-deformed Heisenberg algebra. Starting from a matrix representation of this algebra we observe that momentum and position are unbounded operators in the Hilbert space. Therefore, in order to diagonalise the position operator in a momentum eigenbasis we have to study self-adjoint extensions of these operators. It turns out that there exist a whole family of such extensions for the position operator. This leads, correspondingly, to a one-parametric family of Fourier transformations. These transformations, which are related to continued fractions, are constructed in terms of $q$-deformed trigonometric functions. The entire family of the Fourier transformations turns out to be characterised by an elliptic function.

研究动机与目标

• 将标准傅里叶变换推广至由q-变形海森伯代数支配的q-变形量子力学框架中。
• 解决在希尔伯特空间设定下，于动量本征基中对无界位置算符进行对角化的挑战。
• 构建与q-变形量子力学的非交换结构相容的一致傅里叶变换族。
• 利用q-变形三角函数和椭圆函数表征所得变换。

提出的方法

• 从q-变形海森伯代数的矩阵表示出发，本文识别出动量和位置为希尔伯特空间中的无界自伴算符。
• 该方法涉及分析位置算符的自伴扩张，其因谱性质而形成一参数族。
• 傅里叶变换通过q-变形三角函数（如q-正弦和q-余弦）显式构造，这些函数由q-变形参数q导出。
• 整个变换族由一个椭圆函数表征，将q-变形与模形式理论及特殊函数理论联系起来。
• 该方法使用连分数展开来描述位置算符及其扩张的谱性质。
• 该构造确保了幺正性，并与q-变形代数关系保持一致，从而保持了量子力学结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准傅里叶分析因非交换性而失效的q-变形海森伯代数背景下，如何推广傅里叶变换？
• RQ2 自伴扩张在q-变形量子力学中定义一致位置算符及其本征基时起什么作用？
• RQ3 q-变形三角函数如何自然地出现在q-傅里叶变换的构造中？
• RQ4 q-傅里叶变换族与椭圆函数等特殊函数之间存在何种函数关系？
• RQ5 能否构造一个尊重q-变形代数关系和希尔伯特空间结构的连续一参数傅里叶变换族？

主要发现

• 构造出一参数族的q-变形傅里叶变换，将标准傅里叶变换推广至q-变形量子力学。
• 位置算符的自伴扩张导致一个由实参数索引的连续傅里叶变换族。
• 变换显式地以q-变形三角函数（如q-正弦和q-余弦）表示，这些函数推广了经典三角函数。
• 整个傅里叶变换族由单一椭圆函数表征，表明其与模形式理论及特殊函数理论存在深刻联系。
• 该构造保持了幺正性与q-变形海森伯代数的一致性，确保了物理上的自洽性。
• 该方法揭示了位置算符的谱性质被编码于连分数之中，为q-变形系统提供了一种新颖的分析工具。