[论文解读] q-Ehrhart polynomials of Gorenstein polytopes, Bernoulli umbra and related Dirichlet series

Frédéric Chapoton, Driss Essouabri|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入了Gorenstein多面体的q-Ehrhart多项式，并建立了Ehrhart系数对称性的q-模拟，证明了对这类多项式乘积应用特定线性形式Ψ时，其结果在ℚ(q)中是自对偶的。关键结果推广了奇数指标伯努利数的零化性质，并将其与具有亚纯延拓的狄利克雷级数联系起来。

ABSTRACT

This article considers some q-analogues of classical results concerning the Ehrhart polynomials of Gorenstein polytopes, namely properties of their q-Ehrhart polynomial with respect to a good linear form. Another theme is a specific linear form {\\Psi} (involving Carlitz' q-analogues of Bernoulli numbers) on the space of polynomials, for which one shows interesting behaviour on these q-Ehrhart polynomials. A third point is devoted to some related zeta-like functions associated with polynomials

研究动机与目标

• 使用q-Ehrhart多项式的q-模拟推广经典Ehrhart理论，适用于Gorenstein多面体。
• 研究涉及卡利茨q-伯努利数的特定线性形式Ψ在这些q-Ehrhart多项式上的行为。
• 建立Ψ值与具有亚纯延拓的zeta-型狄利克雷级数之间的联系，特别是负整数点处的取值。
• 证明Ψ在r-Gorenstein多面体Ehrhart多项式乘积上的像在ℚ(q)中是自对偶的，推广了奇数指标伯努利数的零化性质。
• 定义并分析与Ehrhart多项式相关的狄利克雷级数，证明其在ℂ上具有亚纯延拓，并显式计算其在负整数点的取值。

提出的方法

• 引入整值多项式空间的q-模拟，并使用q-二项式系数定义其基。
• 定义线性算子Σ及两个线性形式V和Ψ，其中Ψ通过生成函数与卡利茨的q-伯努利数相关联。
• 在特定基下建立Gorenstein多面体q-Ehrhart多项式的对称性性质，推广经典Ehrhart系数对称性。
• 证明Ψ作用于两个r-Gorenstein Ehrhart多项式乘积时，其结果在ℚ(q)中是自对偶的（符号除外）。
• 令q=1以恢复经典结果，包括Ψ在1-Gorenstein（对称）多面体Ehrhart多项式乘积上的零化性质，类比于奇数指标伯努利数的零化。
• 定义与Ehrhart多项式相关的狄利克雷级数，并证明其在ℂ上具有亚纯延拓，且在s=1处有一阶极点，通过Ψ推导其在负整数点的取值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gorenstein多面体的q-Ehrhart多项式如何推广经典Ehrhart系数对称性？
• RQ2 线性形式Ψ在r-Gorenstein多面体q-Ehrhart多项式乘积上的行为如何？其与ℚ(q)中自对偶性的关系是什么？
• RQ3 与Ehrhart多项式相关的狄利克雷级数值能否用线性形式Ψ表示？该级数是否具有亚纯延拓？
• RQ4 Ψ在对称多面体乘积上的零化性质与经典奇数指标伯努利数零化性质之间有何联系？
• RQ5 固定Gorenstein多面体的Ehrhart多项式系数在取幂后是否形成类似于伯努利数的序列？该序列能否与zeta-型函数关联？

主要发现

• 当以特定q-模拟基表示时，Gorenstein多面体的q-Ehrhart多项式表现出系数对称性，推广了经典Ehrhart级数的分子对称性。
• 线性形式Ψ作用于两个r-Gorenstein Ehrhart多项式乘积时，其结果在ℚ(q)中是自对偶的（符号除外），推广了奇数指标伯努利数的零化性质。
• 令q=1可恢复Ψ在1-Gorenstein（对称）多面体Ehrhart多项式乘积上的经典零化性质，类比于黎曼zeta函数的函数方程。
• 与Gorenstein多面体Ehrhart多项式相关的狄利克雷级数在ℂ上具有亚纯延拓，且在s=1处有一阶极点。
• 该狄利克雷级数在负整数点的取值由一个涉及线性形式Ψ的显式公式给出，推广了经典伯努利数与ζ(-n)之间的关系。
• 在Z(1−M)的表达式中，求和项∑_{u=1}^{A-1} E(u)^{M-1} E'(u)作为校正项出现，将局部zeta值与多项式E(X)的导数联系起来。