[论文解读] q-Stability conditions on Calabi-Yau-X categories

Akishi Ikeda, Yu Qiu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用 14

一句话总结

本文在卡拉比-丘-$\mathbb{X}$范畴 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上引入了 $q$-稳定性条件 $(\sigma, s)$，其中 $\sigma$ 是一个布里吉兰德稳定性条件，$s \in \mathbb{C}$ 通过满足 $q[M] = [M[\mathbb{X}]]$ 的自同构 $\mathbb{X}$ 控制一个 $q$-形变。关键结果是：对于固定的 $s$，空间 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 是一个复流形，其维数为 $n$，即 $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ 在 $\mathbb{Z}[q^{\pm1}]$ 上的秩；当 $s = N \in \mathbb{Z}$ 时，$q$-稳定性条件可嵌入到轨道范畴 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\

ABSTRACT

We introduce $q$-stability conditions $(σ,s)$ on Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ categories $\mathcal{D}_\mathbb{X}$, where $σ$ is a stability condition on $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ and $s$ a complex number. We prove the corresponding deformation theorem, that $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_\mathbb{X}$ is a complex manifold of dimension $n$ for fixed $s$, where $n$ is the rank of the Grotendieck group of $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ over $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$. When $s=N$ is an integer, we show that the $q$-stability conditions can be identified with the stability conditions on $\mathcal{D}_N$, provided the orbit category $\mathcal{D}_N=\mathcal{D}_\mathbb{X}/[\mathbb{X}-N]$ is well defined. To attack the questions on existence and deformation along $s$ direction, we introduce the inducing method. Sufficient and necessary conditions are given, for a stability condition on an $\mathbb{X}$-baric heart (that is, an usual triangulated category) of $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ to induce $q$-stability conditions on $\mathcal{D}_\mathbb{X}$. As a consequence, we show that the space $\operatorname{QStab}^\oplus\mathcal{D}_\mathbb{X}$ of (induced) open $q$-stability conditions is a complex manifold of dimension $n+1$. Our motivating examples for $\mathcal{D}_\mathbb{X}$ are coming from Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ completions of dg algebras. In the case of smooth projective varieties, the $\mathbb{C}^*$-equivariant coherent sheaves on canonical bundles provide the Calabi-Yau-$\mathbb{X}$ categories. Another application is that we show the prefect derived categories can be realized as cluster-$\mathbb{X}$ categories for acyclic quivers.

研究动机与目标

• 定义并研究卡拉比-丘-$\mathbb{X}$ 范畴 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上的 $q$-稳定性条件 $(\sigma, s)$，通过 $q$-形变推广布里吉兰德稳定性条件。
• 建立形变定理，证明对于固定的 $s \in \mathbb{C}$，$\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 是一个维数为 $n$ 的复流形。
• 阐明当 $s = N \in \mathbb{Z}$ 时，$q$-稳定性与标准稳定性条件之间的关系，通过轨道范畴 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\mathbb{X}-N]$ 实现。
• 发展诱导方法，提供从 $\mathbb{X}$-分次核心到 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上 $q$-稳定性条件的稳定性条件提升的充要条件。
• 证明由诱导产生的开 $q$-稳定性条件空间 $\operatorname{QStab}^\oplus\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 是一个维数为 $n+1$ 的复流形。

提出的方法

• 将 $q$-稳定性条件 $(\sigma, s)$ 定义为一个布里吉兰德稳定性条件 $\sigma$ 与一个复参数 $s$ 的组合，要求在自同构 $\mathbb{X}$ 下满足相容性条件。
• 要求中心类 $Z$ 是 $R$-线性的，其中 $R = \mathbb{Z}[q^{\pm1}]$，且在 $\mathbb{C}_s$ 上的 $q$-作用为 $q(z) = e^{i\pi s}z$，并要求分次结构 $\mathcal{P}$ 满足 $\mathcal{P}(\phi + \operatorname{Re}(s)) = \mathcal{P}(\phi)[\mathbb{X}]$。
• 通过证明 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 局部同构于 $\operatorname{Hom}_R(K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}}), \mathbb{C}_s)$，从而证明形变定理，因此其为维数为 $n$ 的复流形。
• 引入诱导方法：给定一个 $\mathbb{X}$-分次核心 $\mathcal{H}$ 上的稳定性条件，确定其通过全局维数函数提升为 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上 $q$-稳定性条件的条件。
• 利用 $\mathbb{X}$-球面对称扭转函子 $\Psi_{S_i}$ 来范畴化李代数的 Hecke 代数作用，并将 $q$-形变根格与 $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ 联系起来。
• 通过微分几何代数或 $\mathbb{C}^*$-等变凝聚层在典范丛上的构造，将 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 构造为一个卡拉比-丘-$\mathbb{X}$ 完备化，从而提供具体的几何实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $q$-形变将布里吉兰德稳定性条件推广为卡拉比-丘-$\mathbb{X}$ 范畴上的 $q$-稳定性条件？
• RQ2 在何种条件下，$\mathbb{X}$-分次核心上的稳定性条件可诱导为 $\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 上的 $q$-稳定性条件？
• RQ3 对于哪些 $s$ 值，空间 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 保持复流形结构，其维数是多少？
• RQ4 当 $s = N \in \mathbb{Z}$ 时，$q$-稳定性条件与标准稳定性条件之间有何关系，特别是通过轨道范畴 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\mathbb{X}-N]$？
• RQ5 完美导出范畴能否被实现为簇-$\mathbb{X}$ 范畴，其与 $q$-形变根格和球面对称扭转有何关联？

主要发现

• 对于固定的 $s \in \mathbb{C}$，$q$-稳定性条件空间 $\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 是一个维数为 $n$ 的复流形，其中 $n$ 是 $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ 在 $\mathbb{Z}[q^{\pm1}]$ 上的秩。
• 当 $s = N \in \mathbb{Z}$ 且轨道范畴 $\mathcal{D}_N = \mathcal{D}_{\mathbb{X}}/[\mathbb{X}-N]$ 定义良好时，$\operatorname{QStab}_s\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 嵌入到 $\operatorname{Stab}\mathcal{D}_N$ 中，从而将 $q$-稳定性与标准稳定性条件联系起来。
• 由诱导方法得到的诱导开 $q$-稳定性条件空间 $\operatorname{QStab}^\oplus\mathcal{D}_{\mathbb{X}}$ 是一个维数为 $n+1$ 的复流形。
• $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ 同构于 $q$-形变根格 $(L_{Q,R}, (\,,\,)_{q})$，且欧拉形式 $\chi(E,F)$ 满足 $\chi(E,F) = \chi_0(E,F) + q\chi_0(F,E)$。
• 与 $\mathbb{X}$-球面对称对象 $S_i$ 相关的球面对称扭转 $\Psi_{S_i}$ 在 $K(\mathcal{D}_{\mathbb{X}})$ 上诱导出反射 $r_i^q$，范畴化了 Hecke 代数的作用，并建立了与 $q$-形变根系的联系。
• 无向图的完美导出范畴可实现为簇-$\mathbb{X}$ 范畴，其 $\mathbb{X}$-完备化通过 $\mathbb{C}^*$-等变层在典范丛上的构造，实现了 $q$-形变根格。