[论文解读] $q$-Supercongruences from Jackson's $_8ϕ_7$ summation and Watson's $_8ϕ_7$ transformation

Chuanan Wei|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2021

Advanced Mathematical Identities参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通过杰克逊的$_8\phi_7$求和公式、沃森的$_8\phi_7$变换、创造性显微法以及互素多项式的中国剩余定理，建立了关于分圆多项式五次与六次幂的新$q$-超同余式。它提供了龙与拉马克里斯南超同余公式的$q$-模拟，将结果推广至更高模数，并包含具有精确$q$-变形的双级数恒等式，对应经典结果的$q$-推广。

ABSTRACT

$q$-Supercongruences modulo the fifth and sixth powers of a cyclotomic polynomial are very rare in the literature. In this paper, we establish some $q$-supercongruences modulo the fifth and sixth powers of a cyclotomic polynomial in terms of Jackson's $_8ϕ_7$ summation, Watson's $_8ϕ_7$ transformation, the creative microscoping method recently introduced by Guo and Zudilin, and the Chinese remainder theorem for coprime polynomials. More concretely, we give a $q$-analogue of a nice formula due to Long and Ramakrishna [Adv. Math. 290 (2016), 773--808] and two $q$-supercongruences involving double series.

研究动机与目标

• 建立模分圆多项式$\Phi_n(q)^5$与$\Phi_n(q)^6$的$q$-超同余式，此类结果在文献中极为罕见。
• 将龙与拉马克里斯南关于超几何和$\sum (6k+1)(1/3)_k^6/k!^6$的$p$-进超同余式推广为更高模数的$q$-模拟。
• 利用先进的$q$-级数技巧与$q$-整数恒等式，提供经典超几何超同余式的$q$-变形。
• 证明两个涉及双级数与$q$-移位阶乘的新$q$-超同余式，其在$n$模3满足特定同余条件时成立。
• 通过更强的模数与显式$q$-变形表达式，证明并推广顾与施洛瑟关于$q$-超同余式的先前猜想。

提出的方法

• 利用杰克逊的$_8\phi_7$求和公式与沃森的$_8\phi_7$变换，生成含参数的$q$-超几何恒等式。
• 应用创造性显微法，通过引入辅助参数并分析参数趋于1时的极限，以精炼$q$-超同余式。
• 利用互素多项式的中国剩余定理，将模$[n]$与$\Phi_n(q)^k$的同余式合并为模$[n]\Phi_n(q)^k$的更强结果。
• 使用$q$-整数恒等式与$q$-移位阶乘记号，表达具有精确模行为的经典超几何和的$q$-模拟。
• 在$q$-设定下应用洛必达法则，处理参数$a \to 1$时的奇异极限，从而在$a \to 1$极限下推导出$q$-超同余式。
• 推导形如$\sum [6k+1] \frac{(q;q^3)_k^6}{(q^3;q^3)_k^6} q^{3k}$的和模$[n]\Phi_n(q)^4$或$[n]\Phi_n(q)^5$的$q$-超同余式，具体取决于$n \mod 3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为与龙与拉马克里斯南的经典超同余式(1.2)相关的$q$-超几何和，建立模$\Phi_n(q)^5$与$\Phi_n(q)^6$的$q$-超同余式？
• RQ2 如何将创造性显微法与$q$-超几何变换结合，以推导高阶超同余式的$q$-模拟？
• RQ3 和$\sum (6k+1)(1/3)_k^6/k!^6$在模$p^{s+4}$与$p^{s+5}$下的精确$q$-变形为何？其如何反映$p$-进结构？
• RQ4 能否利用$q$-版本的中国剩余定理与$q$-级数恒等式，构造并证明双级数$q$-超同余式？
• RQ5 $q$-整数$[n]$与分圆多项式$\Phi_n(q)$在控制$n \equiv 1,2 \pmod{3}$时$q$-超同余式的模数中起何作用？

主要发现

• 定理1.1为$n \equiv 1 \pmod{3}$建立了模$[n]\Phi_n(q)^4$的$q$-超同余式，其校正项包含$[n]^2$以及$\sum q^{3j}/[3j]^2$与$\sum q^{3j-1}/[3j-1]^2$的和。
• 定理1.2为$n \equiv 2 \pmod{3}$证明了模$[n]\Phi_n(q)^5$的$q$-超同余式，其右端与$5[2n] \frac{(q^2;q^3)_{(2n-1)/3}^3}{(q^3;q^3)_{(2n-1)/3}^3}$成正比。
• 推论1.3给出了模$p^{s+4}$的$p$-进超同余式，其中$p^s \equiv 1 \pmod{3}$，其校正项包含对$j$的求和$\left(\frac{1}{(3j-1)^2} - \frac{1}{(3j)^2}\right)$。
• 推论1.4提供了模$p^{s+5}$的$p$-进超同余式，其中$p^s \equiv 2 \pmod{3}$，其值与$10p^s \frac{(2/3)_{(2p^s-1)/3}^3}{(1)_{(2p^s-1)/3}^3}$成正比。
• 定理3.1与3.2将结果推广至含参数$a$、$b$、$c$、$d$的双级数$q$-超同余式，适用于$r = \pm 1$且$n \equiv -1 \pmod{d}$或$n \equiv 1 \pmod{d}$的情形。
• 本文通过使用$q$-版本的中国剩余定理与极限技巧，证明了顾与施洛瑟的两个猜想，分别建立了模$[n]\Phi_n(q)^4$与$[n]\Phi_n(q)^5$的$q$-超同余式。