[论文解读] $q$-Volkenborn Integration and Its Applications

Taekyun Kim|ArXiv.org|Oct 25, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用 $q$-Volkenborn 积分，提出了一套系统框架，用于研究多重 $q$-Euler 数与多项式，构建了高阶 $p$-进 $q$-Euler 数与多项式，定义了一个新的生成函数，并引入了一个 Euler $q$-zeta 函数，该函数在负整数处插值 $q$-Euler 多项式。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to present a systemic study of some families of multiple $q$-Euler numbers and polynomials. In particular, by using the $q$-Volkenborn integration on $\Bbb Z_p$, we construct $p$-adic $q$-Euler numbers and polynomials of higher order. We also define new generating functions of multiple $q$-Euler numbers and polynomials. Furthermore, we construct Euler $q$-Zeta function. This paper is the version of the preprint of my paper to publish in the special issues as the preprint part of this proceedings.

研究动机与目标

• 通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用 $q$-Volkenborn 积分，建立多重 $q$-Euler 数与多项式的系统理论。
• 通过 $q$-Volkenborn 积分构造高阶 $p$-进 $q$-Euler 数与多项式。
• 为高阶多重 $q$-Euler 数与多项式定义一个新的生成函数。
• 引入并研究一个 Euler $q$-zeta 函数，使其在负整数处插值 $q$-Euler 多项式。

提出的方法

• 使用 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $q$-Volkenborn 积分，通过 $[x_1 + \cdots + x_k]_q^m$ 的 $k$ 重积分并赋予权 $q^{x_1(h-1) + \cdots + x_k(h-k)}$，定义高阶 $p$-进 $q$-Euler 数。
• 将 $q$-Euler 多项式的生成函数定义为 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{hn} e^{[n+x]_q t}$，该函数生成 $E_{n,q}^{(h,1)}(x)$。
• 通过积分表示构造 Euler $q$-zeta 函数：$\zeta_{E,q}^h(s,x) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-1} F_q(-t,x) dt$，该式对 $s \in \mathbb{C}$ 且 $|q| < 1$ 成立。
• 利用 $q$-二项式系数和 $q$-Pochhammer 符号，推导出 $E_{m,q}^{(h,k)}$ 的显式公式：$E_{m,q}^{(h,k)} = \frac{[2]_q^k}{(1-q)^m} \sum_{l=0}^m \binom{m}{l} \frac{(-1)^l}{(-q^{h+l}:q^{-1})_k}$。
• 建立递推与卷积恒等式，例如 $E_{m,q}^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} q^{jx} E_{m-j,q}^{(k+j,1)}(x) E_{j,q}^{(k-1)}$，以关联不同阶次。
• 使用 $q$-Volkenborn 积分表示：$E_{k,q}(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} [x + x_1]_q^k d\mu_{-q}(x_1)$，推广了经典 Euler 多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $q$-Volkenborn 积分系统地构造高阶 $p$-进 $q$-Euler 数与多项式？
• RQ2 高阶多重 $q$-Euler 数与多项式的生成函数是什么？
• RQ3 如何定义一个 Euler $q$-zeta 函数，使其在负整数处插值 $q$-Euler 多项式？
• RQ4 哪些递推与卷积恒等式控制着 $q$-Euler 数与多项式的结构？
• RQ5 当 $q \to 1$ 时，$q$-Euler 数与多项式如何退化为经典 Euler 数与多项式？

主要发现

• 通过 $q$-Volkenborn 积分表示得到 $E_{k,q}(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} [x + x_1]_q^k d\mu_{-q}(x_1)$，推广了经典 Euler 多项式。
• 高阶 $q$-Euler 数由公式 $E_{m,q}^{(h,k)} = \frac{[2]_q^k}{(1-q)^m} \sum_{l=0}^m \binom{m}{l} \frac{(-1)^l}{(-q^{h+l}:q^{-1})_k}$ 给出，该公式以 $q$-Pochhammer 符号表示，为闭式表达。
• Euler $q$-zeta 函数 $\zeta_{E,q}^h(s,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{nh}}{[n+x]_q^s}$ 在负整数处插值 $q$-Euler 多项式：$\zeta_{E,q}^h(-m,x) = E_{m,q}^{(h,1)}(x)$。
• 生成函数 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{hn} e^{[n+x]_q t}$ 生成 $E_{n,q}^{(h,1)}(x)$，且满足 $F_q(t,x) = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q}^{(h,1)}(x) \frac{t^n}{n!}$。
• 存在一个卷积恒等式：$E_{m,q}^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} q^{jx} E_{m-j,q}^{(k+j,1)}(x) E_{j,q}^{(k-1)}$，用于关联不同阶次的 $q$-Euler 数。
• 当 $q \to 1$ 时，$q$-Euler 数 $E_{m,q}^{(h,k)}$ 退化为经典多重 Euler 数 $E_m^{(k)}$，满足 $E_m^{(k)} = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} E_j^{(k-1)} E_{m-j}^{(1)}$。