[论文解读] QCD coupling up to third order in standard and analytic perturbation theories

B. A. Magradze|ArXiv.org|Oct 8, 2000

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 12

一句话总结

本文利用Lambert W函数求解了标准微扰理论（PT）和解析微扰理论（APT）中QCD跑动耦合在二阶和三阶的精确解析解，求解了跑动方程。推导出时空区域的通用解析耦合函数$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$，并提供了在第二和第三阶下的数值表格，显著改善了红外行为并减少了方案依赖性。

ABSTRACT

We analyze two sets of specific functions, that/which form the basis of the nonpower asymptotic expansions both in the timelike and spacelike regions for single scale dependent QCD observables in the Shirkov--Solovtsov's Analytic Perturbation Theory (APT) free of unphysical singularities. These functions are explicitly derived up to the third order in the closed form in terms of the Lambert-W function. As an input we used the exact two loop and the three loop (corresponding to Padé transformed beta-function) RG solutions for common invariant coupling α_s. The elegant recurrence formulas, helpful for numerical analysis, are obtained for the both sets of the APT functions. Then we construct the global versions of APT functions using the continuity conditions (at the quark thresholds) on the α_s in the \bar{MS} scheme and give numerical results. For first three of these functions \mathfrak{A}_n(s) and {\cal A}_n(Q^2); n=1,2,3 in the large interval of the momentum transfer and energy (1 GeV

研究动机与目标

• 使用Lambert W函数在$\overline{MS}$方案下推导QCD跑动耦合至三阶的精确解析解。
• 构建在全动量范围内有效、与夸克味阈值无关的通用解析耦合函数$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$。
• 通过以两圈方案无关解展开耦合，减少QCD可观测量中的方案依赖性。
• 提供对解析耦合$\mathcal{A}_1(Q^2,f)$、$\mathfrak{A}_1(s,f)$及其幂次至三阶的数值评估，包括与标准PT和Pade近似器的比较。

提出的方法

• 使用Lambert W函数求解QCD耦合$\alpha_s(Q^2,f)$的两圈和三圈跑动方程，获得精确的闭式表达式。
• 利用解通过色散关系定义解析耦合$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$，确保正确的解析性质和红外行为。
• 从复$Q^2$平面上Pade近似三圈耦合的虚部推导谱函数$\tilde{\rho}_n^{(3)}(t,f)$。
• 通过在夸克味阈值处匹配解析解，构建全局通用函数$\mathcal{A}_n(Q^2)$和$\mathfrak{A}_n(s)$。
• 对三圈耦合应用迭代法和Pade近似器，并比较其数值行为和有效范围。
• 对$\Lambda_{\overline{MS}}=450$ MeV下$Q^2$和$s$的多个取值，数值评估解析耦合$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$（$n=1,2,3$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Lambert W函数等特殊函数精确求解二圈和三圈QCD跑动耦合？
• RQ2 解析耦合$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$在时空区域中的解析结构和谱性质是什么？
• RQ3 解析耦合$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$与标准微扰耦合$\alpha_s(Q^2,f)$有何不同，特别是在红外区域？
• RQ4 迭代法与Pade近似器在三圈耦合中的数值行为和有效范围如何？
• RQ5 如何在所有能量尺度上构建全局通用、与夸克味无关的解析耦合函数$\mathcal{A}_n(Q^2)$和$\mathfrak{A}_n(s)$？

主要发现

• 利用Lambert W函数精确求解了两圈QCD耦合，解表达为$\alpha_s^{(2)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 + W_{-1}(\zeta)}$，其中$\zeta$依赖于$Q^2/\Lambda^2$和beta函数系数。
• 三圈耦合以Pade近似形式表示为$\alpha_{\text{Pade}}^{(3)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 - \beta_0\beta_2/\beta_1^2 + W_{-1}(\xi)}$，实现了解析延拓和谱函数构造。
• 通过色散关系推导出解析耦合$\mathcal{A}_n(Q^2,f)$和$\mathfrak{A}_n(s,f)$，确保了正确的解析性质和红外区域的振荡行为。
• 数值表格（表7–12）提供了在$\Lambda = 450$ MeV下$\mathcal{A}_1(Q^2,f)$、$\mathcal{A}_2(Q^2,f)$、$\mathcal{A}_3(Q^2,f)$、$\mathfrak{A}_1(s,f)$、$\mathfrak{A}_2(s,f)$和$\mathfrak{A}_3(s,f)$的取值，覆盖$Q^2$和$s$从1到200 GeV$^2$的范围。
• 三圈耦合的迭代近似器在$Q^2 \sim 100$ GeV$^2$以内有效，此后Pade近似器表现出更好的收敛性。
• 解析耦合$\mathcal{A}_1(Q^2)$和$\mathfrak{A}_1(s)$在红外区域保持有限且行为良好，避免了Landau极点，其中$\mathfrak{A}_1(s)$从$\sqrt{s}=1$ GeV时的0.385下降到$\sqrt{s}=200$ GeV时的0.121。