[论文解读] QML estimation of the continuously invertible EGARCH(1,1) model

Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 2

一句话总结

本文在紧集上的连续可逆性这一新概念下，建立了EGARCH(1,1)模型广义最大似然估计量（QMLE）的强一致性。通过将优化限制在经验连续可逆域内，作者提出了稳定QMLE（SQMLE），在最小正则性条件下确保了强一致性和渐近正态性，从而填补了EGARCH估计中长期存在的理论空白。

ABSTRACT

We introduce the notion of continuous invertibility on a compact set for volatility models driven by a Stochastic Recurrence Equation (SRE). We prove the strong consistency of the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE) when the optimization procedure is done on a continuously invertible domain. This approach gives for the first time the strong consistency of the QMLE used by Nelson in \cite{nelson:1991} for the EGARCH(1,1) model under explicit but non observable conditions. In practice, we propose to stabilize the QMLE by constraining the optimization procedure to an empirical continuously invertible domain. The new method, called Stable QMLE (SQMLE), is strongly consistent when the observations follow an invertible EGARCH(1,1) model. We also give the asymptotic normality of the SQMLE under additional minimal assumptions.

研究动机与目标

• 解决在实际估计条件下Nelson（1991）EGARCH(1,1)模型中QMLE缺乏理论依据的问题。
• 为由随机递推方程（SRE）驱动的随机波动率模型，定义并形式化紧集上连续可逆性的概念。
• 在优化域被限制于连续可逆集时，建立QMLE的强一致性。
• 提出一种实用的估计方法——稳定QMLE（SQMLE），通过将优化限制在可经验识别的可逆区域内，确保一致性。
• 在最小正则性假设下推导SQMLE的渐近正态性，从而支持有效的统计推断。

提出的方法

• 为SRE驱动的波动率模型引入紧集上连续可逆性的概念，确保稳定性及似然优化的良好行为。
• 证明当优化域被限制在连续可逆集时，即使真实参数不可直接观测，QMLE仍具有强一致性。
• 通过从数据中经验识别连续可逆域，提出稳定QMLE（SQMLE），确保实际应用中的鲁棒性与一致性。
• 利用可逆域的紧致性与连续性，确保在温和正则性条件下估计量的收敛性质。
• 应用标准渐近理论，在最小矩和可微性假设下建立SQMLE的渐近正态性。
• 依赖随机递推结构与一致收敛论证，处理实践中不可观测的可逆性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当优化域受到约束时，QMLE在何种条件下对EGARCH(1,1)模型具有强一致性？
• RQ2 能否设计一种实用的估计方法，即使真实可逆性条件不可观测，也能确保一致性？
• RQ3 在最小正则性假设下，所提出估计量的渐近分布是什么？
• RQ4 如何在实践中识别紧集上的连续可逆性，并用于稳定EGARCH模型的估计？

主要发现

• 当优化被限制在连续可逆域时，即使真实参数不可直接观测，QMLE仍具有强一致性。
• 所提出的稳定QMLE（SQMLE）在数据服从可逆EGARCH(1,1)模型时，确保了强一致性。
• SQMLE在最小正则性条件下实现了渐近正态性，支持有效的统计推断。
• 紧集上的连续可逆性概念为稳定估计提供了理论坚实且可实际实施的框架。
• 该方法通过将优化限制在可经验识别的可逆区域内，稳定了标准QMLE，克服了其不稳定性。