[论文解读] Quad layouts with high valence singularities for flexible quad meshing

Jovana Jezdimirovi' c, Alexandre Chemin+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文提出一种新颖的算法，通过利用用户定义或自然产生的高阶奇异点，生成高质量的块结构四边形网格。该方法引入两步交叉场计算：首先，通过非线性最小化方法确定初始奇异点；其次，通过线性PDE系统在特殊细化的网格上施加预设奇异点，从而实现鲁棒的布局生成，并有效修正极限环和非四边形区域，最终生成保持奇异点结构的高质量四边形网格。

ABSTRACT

A novel algorithm that produces a quad layout based on imposed set of singularities is proposed. In this paper, we either use singularities that appear naturally, e.g., by minimizing Ginzburg-Landau energy, or use as an input user-defined singularity pattern, possibly with high valence singularities that do not appear naturally in cross-field computations. The first contribution of the paper is the development of a formulation that allows computing a cross-field from a given set of singularities through the resolution of two linear PDEs. A specific mesh refinement is applied at the vicinity of singularities to accommodate the large gradients of cross directions that appear in the vicinity of singularities of high valence. The second contribution of the paper is a correction scheme that repairs limit cycles and/or non-quadrilateral patches. Finally, a high quality block-structured quad mesh is generated from the quad layout and per-partition parameterization.

研究动机与目标

• 为解决在高阶奇异点附近交叉场计算的不稳定性问题，即标准网格细化会导致奇异点迁移。
• 在四边形布局生成中实现用户定义的高阶奇异点，即使这些奇异点在能量最小化过程中并不自然出现。
• 开发一种鲁棒的修正方案，用于修复四边形布局中的极限环和非四边形区域。
• 通过分块参数化和全量插值法，生成高质量、块结构化的四边形网格，同时保持奇异点位置不变。
• 即使在高阶奇异点附近存在大梯度的情况下，也确保四边形网格的拓扑正确性和几何鲁棒性。

提出的方法

• 采用两步交叉场计算：首先，通过非线性Ginzburg-Landau能量最小化计算初始交叉场，并提取奇异点位置和阶数。
• 其次，通过线性PDE系统求解具有预设奇异点的交叉场，其网格在奇异点周围采用自行车辐条图案进行细化，以捕捉高梯度行为。
• 在奇异点周围局部应用网格细化，采用特殊结构以保持拓扑一致性，防止奇异点迁移。
• 通过检测并修复受影响的分区以及重新分配奇异点重心，实现对极限环和非四边形区域的修正方案。
• 每个四边形布局区域通过参数空间中的双线性全量插值法进行重网格化，其引导尺寸图由第二步的交叉场导出。
• 最终通过将参数空间中的TFI网格映射到物理空间，生成四边形网格，保持奇异点位置并实现高单元质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性PDE公式能否可靠地计算出具有用户强制设定的高阶奇异点的交叉场，同时避免奇异点迁移？
• RQ2 如何调整网格细化方法，以在不破坏交叉场解稳定性的情况下捕捉高阶奇异点附近的高梯度？
• RQ3 哪些机制能够有效检测并修正四边形布局中的拓扑缺陷，如极限环和非四边形区域？
• RQ4 在保持几何和拓扑一致性的同时，用户定义的奇异点模式在多大程度上可被用于引导四边形网格生成？
• RQ5 与现有基于交叉场的四边形网格化方法相比，所提方法在网格质量和鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• 两步交叉场方法成功防止了网格细化过程中的奇异点迁移，保持了预设的奇异点模式。
• 在奇异点周围使用自行车辐条网格模式，能够准确表示高梯度交叉场行为。
• 修正方案能有效解决极限环和非四边形区域问题，实现拓扑正确的四边形布局。
• 最终生成的四边形网格质量极高，平均单元质量 η ≥ 0.94，且在测试模型中超过95%的单元质量 > 0.9。
• 该方法在整个网格生成流程中保持了奇异点位置，确保最终网格具有正确的拓扑结构。
• 该方法已集成于Gmsh中，支持用户预设奇异点的交互式设计，同时保持完全自动且鲁棒。