[论文解读] Quadratic Chabauty for Modular Curves

Samir Siksek|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明了对于有理数域上亏格≥3的模曲线，其雅可比簇的内森-塞弗雷特秩至少为2，从而使得二次Chabauty方法成为可能——该方法在经典Chabauty方法因Mordell-Weil秩过高而失效时提供扩展。关键结果是，由于NS秩更高，二次Chabauty方法在这些曲线上比经典Chabauty方法更有效。

ABSTRACT

Let $X/\mathbb{Q}$ be a curve of genus $g \ge 2$ with Jacobian $J$ and let $\ell$ be a prime of good reduction. Using Selmer varieties, Kim defines a decreasing sequence \[ X(\mathbb{Q}_\ell) \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_1 \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_2 \supseteq \cdots \] all containing the rational points of $X$. Thanks to the work of Coleman, the `Chabauty set' $X(\mathbb{Q}_\ell)_1$ is known to be finite provided the Mordell--Weil rank of $J$ is smaller than $g$. In this case one has a practical strategy that often succeeds in computing the set of rational points of $X$. Balakrishnan and Dogra have recently shown that the `quadratic Chabauty set' $X(\mathbb{Q}_\ell)_2$ is finite provided the Mordell--Weil rank is less than $g + ρ-1$, where $ρ$ is the Néron-Severi rank of $J/\mathbb{Q}$. In view of this it is interesting to give families of curves where $ρ\ge 2$ and where therefore quadratic Chabauty is more likely to succeed than classical Chabauty. In this note we show that this is indeed the case for all modular curves of genus at least 3.

研究动机与目标

• 识别二次Chabauty方法因NS秩更高而比经典Chabauty方法更有效的曲线族。
• 建立有理数域上亏格≥3的模曲线的雅可比簇的内森-塞弗雷特秩至少为2。
• 利用Balakrishnan-Dogra定理，为二次Chabauty集$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$的有限性提供充分条件。
• 证明条件$\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < g + \operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) - 1$在模曲线中比在一般曲线中更可能成立。
• 为在经典Chabauty方法因秩约束而失效时计算模曲线上有理点，提供一个实用框架。

提出的方法

• 应用Balakrishnan-Dogra定理以判断$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$的有限性，其条件为$\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < g + \operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) - 1$。
• 利用Eichler-Shimura理论，将模曲线的雅可比簇$J$分解为与权2尖点形式相关的$\operatorname{GL}_2$-型阿贝尔簇$\mathcal{A}_i$的乘积。
• 通过同构$\operatorname{NS}(J) \otimes \mathbb{Q} \cong \operatorname{End}^{(s)}(J) \otimes \mathbb{Q}$分析内森-塞弗雷特群，其中$\operatorname{End}^{(s)}(J)$是关于Rosati对合固定的自同态空间。
• 通过识别$\operatorname{End}(J) \otimes \mathbb{Q}$中在Rosati对合下固定的子代数，计算有理内森-塞弗雷特秩，该子代数包含$F_1 \times \cdots \times F_m \times E_{m+1} \times \cdots \times E_n$，其中$F_i$为完全实数域和CM域。
• 推导出$\operatorname{rank}\operatorname{NS}(J)$的下界为$\sum_{i=1}^m [F_i:\mathbb{Q}] + \frac{1}{2}\sum_{i=m+1}^n [F_i:\mathbb{Q}]$，表明当亏格≥3时其值至少为2。
• 将有限性条件重新表达为Mordell-Weil秩与Hecke域次数的关系，从而得出可计算的判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些曲线族中，二次Chabauty方法比经典Chabauty方法更有效？
• RQ2 有理数域上模曲线的雅可比簇的内森-塞弗雷特秩是多少？与一般情况相比如何？
• RQ3 Balakrishnan-Dogra定理能否有效应用于模曲线以判断$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$的有限性？
• RQ4 在何种Mordell-Weil秩与Hecke域次数条件下，$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$对模曲线是有限的？
• RQ5 模曲线雅可比簇的自同态代数结构如何影响其内森-塞弗雷特秩？

主要发现

• 对于任意有理数域上亏格$g \geq 3$的模曲线$X/\mathbb{Q}$，其雅可比簇的内森-塞弗雷特秩满足$\operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) \geq 2$，高于一般情况中$\operatorname{NS}(J)$秩为1的情形。
• 条件$\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < g + \operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) - 1$在模曲线上比在一般曲线上更可能成立，使得二次Chabauty方法在更多情形下适用。
• 导出$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$有限性的充分条件：$\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < -1 + 2\sum_{i=1}^m [F_i:\mathbb{Q}] + \frac{3}{2}\sum_{i=m+1}^n [F_i:\mathbb{Q}]$，其中$F_i$为尖点形式的Hecke域。
• 证明雅可比簇的内森-塞弗雷特群包含一个与$F_1 \times \cdots \times F_m \times E_{m+1} \times \cdots \times E_n$同构的有理子代数，其中$E_i$为CM域$F_i$的最大完全实子域。
• 当$J$的单个因子两两非同构时，$\operatorname{NS}(J) \otimes \mathbb{Q}$同构于代数$F_1 \times \cdots \times F_m \times E_{m+1} \times \cdots \times E_n$，从而确认了对$\operatorname{rank}\operatorname{NS}(J)$的下界。
• 即使经典Chabauty条件不成立，由于内森-塞弗雷特秩增强，二次Chabauty方法对亏格≥3的模曲线仍具有效性。