[论文解读] Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples

Jennifer S. Balakrishnan, Netan Dogra+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文開發並實現了算法，利用二次 Chabauty 方法計算模曲線上的有理點，這些曲線的虧格大於1，特別是在雅可比簇的 Mordell-Weil 秩等於虧格的情況下。該方法結合 $p$-進高度計算與零跡對應，處理具有非平凡局部高度貢獻及不良還原的情況，成功確定了多條虧格2與3的模曲線上的全部有理點，包括 $X_{S_4}(13)$ 和 $X_{\text{ns}}^+(17)$，並證明後者恰好有7個有理點，且全部為CM點。

ABSTRACT

We describe how the quadratic Chabauty method may be applied to explicitly determine the set of rational points on modular curves of genus $g>1$ whose Jacobians have Mordell--Weil rank $g$. This extends our previous work on the split Cartan curve of level 13 and allows us to consider modular curves that may have few known rational points or nontrivial local height contributions at primes of bad reduction. We illustrate our algorithms with a number of examples where we determine the set of rational points on several modular curves of genus 2 and 3: this includes Atkin--Lehner quotients $X_0^+(N)$ of prime level $N$, the curve $X_{S_4}(13)$, as well as a few other curves relevant to Mazur's Program B. We also describe the computation of rational points on the genus 6 non-split Cartan modular curve $X_{ extrm{ns}} ^+ (17)$.

研究动机与目标

• 將二次 Chabauty 方法的適用範圍擴展至 Mordell-Weil 秩等於虧格的模曲線，包括具有非平凡局部高度貢獻及在素數處不良還原的曲線。
• 開發實用算法，用於計算與 Mazur 的 Program B 及 Serre 均勻性問題相關的模曲線上的有理點。
• 確定特定模曲線（如 $X_{S_4}(13)$、$X_{\text{ns}}^+(17)$ 及 Atkin–Lehner 商曲線 $X_0^+(N)$）上的全部有理點，這些曲線上的有理點稀少或非CM。
• 提供計算證據支持如下猜想：對於大素數 $N$，$X_0^+(N)$ 上的有理點主要為尖點或CM點。

提出的方法

• 該方法使用二次 Chabauty 框架，在曲線的 $p$-進點上計算 $p$-進解析函數，利用當 Hecke 代數在上同調與對偶圖上作用平凡時，$p$-進高度消失的性質。
• 它在 Hecke 代數中構造零跡對應，使其在 $H^1$ 及特殊纖維上同調上作用平凡，從而確保 $p$-進高度在有理點上恆為零。
• 該算法使用 $p$-進積分與 Hodge 濃縮層，計算 $p$-進 Abel–Jacobi 映射，並利用曲線的奇異平面模型簡化上同調計算。
• 它應用 Magma 函數 `Genus6PlaneCurveModel` 及 $\mathbb{P}^2$ 的自同構，尋找係數較小且在無窮遠處有兩個有理點的模型，以實現高效的 Hodge 濃縮層計算。
• 該方法依賴於貧乏 Hecke 代數與到 $X_0^+(17^2)$ 的雅可比簇新部分的同源，透過 Hecke 算子的特徵多項式將其分解為不可約因子。
• 它利用 LMFDB 確認 $T_{31}$ 對於水平為289的新形式生成 Hecke 代數，並計算出兩個線性無關的零跡對應，以確認 $p$-進高度的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 模曲線 $X_{S_4}(13)$ 的虧格為3，其有理點的完整集合為何？其中有多少個是例外點（非CM點）？
• RQ2 虧格為6的非分裂 Cartan 曲線 $X_{\text{ns}}^+(17)$ 有多少個有理點？它們是否全部為CM點？
• RQ3 二次 Chabauty 方法能否有效應用於具有不良還原與非平凡局部高度貢獻的模曲線？
• RQ4 該方法在計算 Atkin–Lehner 商曲線 $X_0^+(N)$ 上的有理點時，適用範圍如何，特別是在有理點稀少的情況下？
• RQ5 Hecke 代數中的零跡對應能否用於確保 $p$-進高度的消失，從而實現有效的有理點計算？

主要发现

• 曲線 $X_{S_4}(13)$ 上的有理點恰好有四個：一個 $j$-不變量對應判別式 $D = -3$ 的CM點，以及三個例外的非CM點。
• 曲線 $X_{\text{ns}}^+(17)$ 恰好有七個有理點，且全部為CM點，對應判別式 $-3, -7, -11, -12, -27, -28, -163$。
• $17$-進高度在 $X_{\text{ns}}^+(17)(\mathbb{Q}_{17})$ 上恆為零，這是因為 Hecke 代數中存在兩個線性無關的零跡對應，它們在上同調與對偶圖上作用平凡。
• 對於 $X_{\text{ns}}^+(17)$，該方法成功使用 $p=31$ 計算了有理點，找到六個有限點與兩個無窮遠點，與 Mercuri–Schoof 所知的CM點一致。
• 該算法確認，對於素數 $N$，$X_0^+(N)$ 上的有理點主要為尖點或CM點，支持了 Galbraith 對虧格2與3情況下的猜想。
• 當 Hecke 代數由單一算子生成，且可構造出具有有理點在無窮遠處的合適奇異平面模型時，該方法在計算上是可行的。