[论文解读] Quadratic Functions of Cocycles and Pin Structures

G. W. Brumfiel, John Morgan|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过满足特定史蒂诺德 $\cup_i$ 乘积和 $Sq^2$ 运算条件的 ${\mathbb{Z}}/4$-值二次函数，对紧致三角剖分流形上的 Pin 和 Spin 结构提供了组合表征。关键结果建立了 Pin 结构等价类与此类二次函数之间的典范双射，并在定向情形下将结果推广至取值于 ${\mathbb{Z}}/2$ 的 Spin 结构。该框架在同伦与单纯剖分下保持不变，与 bordism 理论及扩展的拓扑量子场论（TQFT）相关联。

ABSTRACT

We construct a natural bijective correspondence between equivalence classes of Pin$^-$ structures on a compact simplicial $n$-manifold $M^n$, possibly with boundary, and $\mathbb{Z}/4$-valued 'quadratic functions' $Q$ defined on degree $n-1$ relative $\mathbb{Z}/2$ cocycles, $Q \colon Z^{n-1}(M^n, \partial M^n ; \mathbb{Z} /2) o \mathbb{Z}/4$. The 'quadratic' property of $Q(p+q)$ and the values $Q(dc)$ on coboundaries are expressed in terms of higher $\cup_i$ products of Steenrod. For $n = 2$ the results extend old results relating Pin$^-$ structures on closed surfaces to quadratic refinements of the cup product pairing on $H^1(M^n ; \mathbb{Z} /2)$. In the oriented case, that is, for Spin manifolds, the results extend results of Kapustin, see arXiv:1505.05856v2, and results in our previous paper on the Pontrjagin dual 4-dimensional Spin bordism, see arXiv:1803.08147. The extension of those results to Pin$^-$ manifolds in this paper required a different approach, involving some stable homotopy theory of Postnikov towers.

研究动机与目标

• 通过上链上的二次函数，对三角剖分流形上的 Pin 和 Spin 结构提供纯粹组合的、上同调的表征。
• 建立 Pin 结构等价类与满足史蒂诺德乘积条件的特定 ${\mathbb{Z}}/4$-值二次函数之间的典范双射。
• 证明此类二次函数存在的充要条件是 Wu 类 $v_2(M)$ 恰好为零，这正是 Pin 结构存在的必要且充分条件。
• 通过上链悬垂与重心剖分，证明该构造在同伦下不变且与单纯剖分的选择无关。
• 通过相对 bordism 与函子性，将该构造与 bordism 理论及扩展的拓扑量子场论（TQFT）相联系。

提出的方法

• 定义二次函数 $Q: Z^{n-1}(M,\partial M; \mathbb{Z}/2) \to \mathbb{Z}/4$，满足 $Q(p+q) = Q(p) + Q(q) + 2\int_{[M,\partial M]} p \cup_{n-2} q$。
• 施加条件 $Q(dc) = 2\int_{[M,\partial M]} Sq^2 c = 2\int (c \cup_{n-4} c + c \cup_{n-3} dc)$，以确保与史蒂诺德运算的一致性。
• 使用上链悬垂 $s_0$ 和 $s_1$ 将二次函数从 $M$ 扩展至 $I \times M$，建立 $M$ 上与柱面 $I \times M$ 上二次函数之间的等价关系。
• 构造一个单纯 2 阶庞特里亚金谱 $E^{\text{pin}}$ 和 $E^{\text{spin}}$，以模型化 $G_n^{\text{pin}}(X)$ 和 $G_n^{\text{spin}}(X)$ 的分类空间。
• 通过迭代重心剖分与上拉变换，证明二次函数的赋值在同伦与单纯剖分下保持不变。
• 在流形及其相对 bordism 之间建立二次函数的函子性对应，从而支持一种组合式 bordism 同调理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用上链与上同调运算，对三角剖分流形上的 Pin 结构进行组合表征？
• RQ2 定义在相对 $(n-1)$-上链上的 ${\mathbb{Z}}/4$-值函数需满足何种条件，才能对应于 Pin 结构？
• RQ3 此类二次函数的存在性与 Wu 类 $v_2(M)$ 为零有何关联？
• RQ4 能否使上链上二次函数的概念独立于单纯剖分的选择？若能，其方式为何？
• RQ5 这些二次函数如何与 bordism 理论及扩展的 TQFT 相关联？

主要发现

• 紧致三角剖分流形 $M$ 上 Pin 结构的等价类与 ${\mathbb{Z}}/4$-值二次函数 $Q$ 之间存在典范双射，其中 $Q$ 定义在 $Z^{n-1}(M,\partial M; \mathbb{Z}/2)$ 上，且满足 $Q(p+q) = Q(p) + Q(q) + 2\int p \cup_{n-2} q$ 与 $Q(dc) = 2\int Sq^2 c$。
• 此类二次函数存在的充要条件是 $v_2(M) = 0$，这正是 Pin 结构存在的必要且充分条件。
• 在定向流形情形下，二次函数取值于 $2(\mathbb{Z}/2) \subset \mathbb{Z}/4$，结构退化为满足类似条件的 ${\mathbb{Z}}/2$-值函数，对应于 Spin 结构。
• 该构造与有序单纯剖分的选择无关：等价的二次函数通过形如 $Q'(p) = Q(p) + 2\langle p \cdot a, [M,\partial M] \rangle$ 的线性函数关联，其中 $a \in H^1(M; \mathbb{Z}/2)$。
• 流形 $M$ 上的二次函数可通过上链悬垂唯一地延拓至 $I \times M$，且在端点的限制可恢复原始函数，从而建立同伦不变的对应关系。
• 该理论支持一种组合式 bordism 同调理论，其中 $G_n^{\text{pin}}(X)$ 与 $G_n^{\text{spin}}(X)$ 由单纯庞特里亚金谱模型化，当 $M$ 光滑时，所得 bordism 理论与经典 Pin 与 Spin bordism 一致。