[论文解读] Quadratic $G$-BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions

Ying Hu, Shanjian Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文通过引入基于Briand和Hu的θ-方法的新型逼近过程，并结合非线性随机分析，建立了在一维二次$G$-BSDE中，具有凸（或凹）生成元和无界终端条件的解的存在性与唯一性。此外，本文还在终端值具有指数矩的条件下，证明了具有对角二次生成元的多维$G$-BSDE的适定性。

ABSTRACT

In this paper, we first study one-dimensional quadratic backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motions ($G$-BSDEs) with unbounded terminal values. With the help of a $θ$-method of Briand and Hu [4] and nonlinear stochastic analysis techniques, we propose an approximation procedure to prove existence and uniqueness result when the generator is convex (or concave) and terminal value is of exponential moments of arbitrary order. Finally, we also establish the well-posedness of multi-dimensional G-BSDEs with diagonally quadratic generators.

研究动机与目标

• 解决在一维二次$G$-BSDE中，终端值无界且生成元为凸时，在$G$-期望框架下缺乏存在性与唯一性结果的问题。
• 将经典的单调收敛与逼近技术推广至非线性$G$-期望设置，其中标准工具如单调收敛定理无法直接应用。
• 在终端条件具有指数矩的条件下，建立具有对角二次生成元的多维$G$-BSDE的适定性。
• 克服$G$-BSDE公式中非确定性二次变差过程$\langle B\rangle$以及非增$G$-鞅$K$带来的挑战。
• 将现有关于有界终端值的二次BSDE结果推广至具有任意指数矩的无界终端条件情形。

提出的方法

• 将Briand和Hu [4] 的$\theta$-方法适配至$G$-BSDE框架，以控制解的增长，并在生成元为凸或凹时确保唯一性。
• 对$G$-BSDE采用递归逼近方案，构造一系列具有有界终端值的逼近$G$-BSDE，以推导一致的先验估计。
• 运用非线性随机分析技术，包括BMO-鞅估计与指数矩界，以控制解过程$Y^{(m)}$与$Z^{(m)}$的增长。
• 应用扩展的条件$G$-期望及其通过一族次线性测度的essential supremum表示，以处理非线性动态。
• 在任意$\gamma > 0$下，建立$\mathbb{\hat{E}}[\exp(\gamma \sup_t |Y^{(m)}_t|)]$的一致有界性，通过迭代应用逼近过程实现。
• 利用Hölder不等式与矩估计的迭代精化，推导出一致可积性，并证明逼近序列收敛于真实解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当终端条件无界且具有任意阶指数矩时，能否在一维二次$G$-BSDE中建立解的存在性与唯一性？
• RQ2 如何将$\theta$-方法适配至$G$-期望框架，以在生成元为凸时确保唯一性？
• RQ3 生成元与终端条件需满足何种条件，才能保证具有对角二次结构的多维$G$-BSDE的适定性？
• RQ4 在逼近与先验估计过程中，如何处理非确定性二次变差$\langle B\rangle$与非增$G$-鞅$K$？
• RQ5 鉴于标准单调收敛在次线性期望下不成立，能否将经典单调收敛方法推广至$G$-BSDE？

主要发现

• 本文证明了一维二次$G$-BSDE在凸（或凹）生成元与终端条件属于具有任意阶指数矩的$L^p$-空间时，解的存在性与唯一性。
• 推导出一致的先验估计：对任意$p \geq 1$，有$\mathbb{\hat{E}}[\exp(3p\gamma\tilde{\sigma}^2 \sup_t |Y^{(m)}_t|)] \leq |\hat{A}(G)|^{\mu+1} \mathbb{\hat{E}}[\exp(24n(16n)^{\mu-1}p\gamma\tilde{\sigma}^2 |\xi|)]$，其中$\mu$为迭代次数。
• 证明逼近序列$\{Y^{(m)}, Z^{(m)}, K^{(m)}\}$在$Y$、$Z$与$K$的$L^p$-范数下一致有界，从而保证收敛至极限解。
• 证明$G$-BSDE的解满足$\mathbb{\hat{E}}[\exp(\gamma \sup_t |Y_t|)] < \infty$对所有$\gamma > 0$成立，表明在$G$-期望下具有强可积性。
• 对于具有对角二次生成元的多维$G$-BSDE，当终端值满足相同指数矩条件时，其适定性得以确立。
• 该方法通过结合迭代逼近与矩估计，成功克服了$G$-框架下标准单调收敛与Picard迭代的缺失。