[论文解读] Quadratic Gröbner bases of twinned order polytopes

Takayuki Hibi, Kazunori Matsuda|arXiv (Cornell University)|May 16, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文证明了当两个有限偏序集 P 和 Q 拥有共同的线性扩展时，与之关联的孪生序多面体 Δ(P,−Q) 的环理想在反字典序下 admits 一个二次 Gröbner 基。关键结果是此时 Δ(P,−Q) 是一个正规 Gorenstein Fano 多面体，推广了先前关于序多面体中心对称构型的研究结果。

ABSTRACT

Let $P$ and $Q$ be finite partially ordered sets on $[d] = \{1, \ldots, d\}$, and $\mathcal{O}(P) \subset \mathbb{R}^{d}$ and $\mathcal{O}(Q) \subset \mathbb{R}^{d}$ their order polytopes. The twinned order polytope of $P$ and $Q$ is the convex polytope $Δ(P,-Q) \subset \mathbb{R}^{d}$ which is the convex hull of $\mathcal{O}(P) \cup (- \mathcal{O}(Q))$. It follows that the origin of $\mathbb{R}^{d}$ belongs to the interior of $Δ(P,-Q)$ if and only if $P$ and $Q$ possess a common linear extension. It will be proved that, when the origin of $\mathbb{R}^{d}$ belongs to the interior of $Δ(P,-Q)$, the toric ideal of $Δ(P,-Q)$ possesses a quadratic Gröbner basis with respect to a reverse lexicographic order for which the variable corresponding to the origin is smallest. Thus in particular if $P$ and $Q$ possess a common linear extension, then the twinned order polytope $Δ(P,-Q)$ is a normal Gorenstein Fano polytope.

研究动机与目标

• 推广先前关于序多面体中心对称构型的 Gröbner 基结果。
• 刻画原点位于孪生序多面体 Δ(P,−Q) 内部的条件。
• 在 P 和 Q 共享共同线性扩展的条件下，建立 Δ(P,−Q) 的环理想在反字典序下具有二次 Gröbner 基。
• 在该条件下证明 Δ(P,−Q) 是一个正规 Gorenstein Fano 多面体。
• 通过偏序集理想与线性扩展，探索环理想 IΩ(P,−Q) 的代数与组合结构。

提出的方法

• 将孪生序多面体 Δ(P,−Q) 定义为序多面体 O(P) 与负序多面体 −O(Q) 的凸包。
• 利用 P 和 Q 的偏序集理想定义集合 Ω(P,−Q)，其包含原点、P 的非空偏序集理想，以及 Q 的非空偏序集理想的相反数。
• 引入一种反字典序，使得对应于原点的变量最小。
• 证明当 P 和 Q 共享共同线性扩展时，环理想 IΩ(P,−Q) 在该序下具有二次 Gröbner 基。
• 通过重标记元素，假设 P 和 Q 均按索引自然排序，从而简化对单项式的比较分析。
• 基于两个单项式系数向量不同的最大索引 j*，采用约化论证，证明若 π(u) ≠ π(v)，则其首项不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，原点属于孪生序多面体 Δ(P,−Q) 的内部？
• RQ2 在何种条件下，Δ(P,−Q) 的环理想在反字典序下 admits 一个二次 Gröbner 基？
• RQ3 当 P 和 Q 共享共同线性扩展时，Δ(P,−Q) 具有哪些代数与几何性质？
• RQ4 环理想 IΩ(P,−Q) 是否总是由二次结合式生成，无论偏序集 P 和 Q 如何？
• RQ5 当 P 和 Q 共享共同线性扩展时，Δ(P,−Q) 的 δ-向量结构如何？

主要发现

• ℝ^d 中的原点属于 Δ(P,−Q) 的内部，当且仅当 P 和 Q 拥有共同的线性扩展。
• 当 P 和 Q 共享共同线性扩展时，Δ(P,−Q) 的环理想在反字典序下（其中原点对应变量最小） admits 一个二次 Gröbner 基。
• 作为推论，当 P 和 Q 共享共同线性扩展时，Δ(P,−Q) 是一个正规 Gorenstein Fano 多面体。
• 当 P 和 Q 共享共同线性扩展时，Δ(P,−Q) 的 δ-向量是对称且单峰的。
• 对于链 P 与反链 Q，Δ(P,−Q) 的 δ-向量与 r=1 的帕斯卡型三角形一致，如 d=2 至 d=6 所示。
• 本文提供了一个反例，表明即使理想由二次式生成，所有环理想 IΩ(P,−Q) 在指定序下也不一定具有二次 Gröbner 基。