[论文解读] Quadratic Transportation Cost Inequalities Under Uniform Distance For Stochastic Reaction Diffusion Equations Driven by Multiplicative Space-Time White Noise

Shijie Shang, Tusheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文在均匀范数下为由乘法型时空白噪声驱动的随机反应-扩散方程解建立了二次运输成本不等式。通过证明关于均匀范数下随机卷积的新型p阶矩估计（对任意p > 0成立），作者克服了此类解非半鞅这一挑战，从而在伊藤微积分不适用的情况下仍能推导出该不等式。

ABSTRACT

In this paper, we established a quadratic transportation cost inequality for solutions of stochastic reaction diffusion equations driven by multiplicative space-time white noise based on a new inequality we proved for the moments (under the uniform norm) of the stochastic convolution with respect to space-time white noise, which is of independent interest. The solutions of such stochastic partial differential equations are typically not semimartingales on the state space.

研究动机与目标

• 在均匀范数下为由乘法型时空白噪声驱动的随机反应-扩散方程解建立二次运输成本不等式。
• 解决此类SPDE解非半鞅的问题，从而无法应用伊藤微积分。
• 为关于时空白噪声的随机卷积在均匀范数下建立新型矩估计，且对任意正阶p均成立。
• 将运输成本不等式的适用范围扩展至乘法噪声SPDE语境下的均匀拓扑。
• 为传统工具（如伊藤公式）失效的SPDE提供浓度测度结果的框架。

提出的方法

• 推导关于由时空白噪声驱动的随机卷积在均匀范数下的新型p阶矩估计，且对任意p > 0成立，该结果本身具有独立兴趣。
• 利用这些矩估计控制解在时间上于均匀范数下的差异增长。
• 在[0,T] × [0,1]上连续函数空间中应用压缩映射法，建立两个解之间差异的矩界。
• 在以相对熵和矩估计表示Wasserstein距离后，应用格朗沃尔不等式。
• 利用沃尔什随机积分的局部性质来处理随机积分过程中的零测集。
• 利用解非半鞅的事实，说明为何需要基于非伊藤的矩估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在均匀范数下为具有乘法型时空白噪声的随机反应-扩散方程建立二次运输成本不等式？
• RQ2 在缺乏半鞅结构的情况下，为处理均匀范数，需要哪些关于随机卷积的新型矩估计？
• RQ3 当伊藤微积分不适用时，如何为由时空白噪声驱动的SPDE建立浓度测度？
• RQ4 与L²范数相比，均匀范数在强化或修改浓度性质方面起到什么作用？
• RQ5 能否将随机卷积的矩估计扩展至任意p > 0（而不仅限于大p），以实现更精确的浓度界？

主要发现

• 本文在均匀范数下为具有乘法型时空白噪声的随机反应-扩散方程解建立了二次运输成本不等式。
• 推导出一类新型的在均匀范数下对任意p > 0有效的随机卷积p阶矩估计，这是重要的技术贡献。
• 这些矩估计使作者能够绕过解的非半鞅性质，从而避免使用伊藤微积分。
• 运输成本不等式中的常数依赖于噪声强度、反应项和时间范围，但对于任意T > 0均为有限值。
• 证明依赖于在利用新矩估计控制解差异的均匀范数后，应用格朗沃尔不等式。
• 该结果扩展了Khoshnevisan与Sarantsev的前期工作，后者仅在L²范数下为乘法噪声获得了此类不等式。