[论文解读] Quadrilateral Meshing by Circle Packing

Marshall Bern, David Eppstein|ArXiv.org|Aug 19, 1999

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用 16

一句话总结

本文提出一种基于圆填充的四边形网格生成方法，可保证线性复杂度（O(n)个单元）及多种质量约束：单元可为Voronoi型、具有直角、风筝形，或最大角不超过120°。该方法利用圆填充来定义网格顶点与边，通过类似共形几何约束确保效率与几何控制。

ABSTRACT

We use circle-packing methods to generate quadrilateral meshes for polygonal domains, with guaranteed bounds both on the quality and the number of elements. We show that these methods can generate meshes of several types: (1) the elements form the cells of a Voronoi diagram, (2) all elements have two opposite right angles, (3) all elements are kites, or (4) all angles are at most 120 degrees. In each case the total number of elements is O(n), where n is the number of input vertices.

研究动机与目标

• 解决在多边形区域中生成高质量、线性复杂度四边形网格的挑战，同时保证单元形状与单元数量的严格约束。
• 克服现有方法的局限性：这些方法要么生成质量较差的网格，要么在强制实施严格质量约束时复杂度超过线性。
• 探究是否可同时实现如直角、风筝形或有界最大角等质量指标，且保持线性规模的网格。
• 研究网格质量的理论极限，特别是任何四边形网格中可能实现的最小最大角。
• 展示圆填充技术在四边形网格生成中的实际适用性，同时提供可证明的几何与复杂度保证。

提出的方法

• 使用圆填充在多边形区域内填充非重叠、两两相切的圆，形成由三个或四个圆弧围成的区域。
• 在圆心、切点以及三至四个相切圆之间的空隙中设置网格顶点。
• 从切点构造Voronoi图，形成具有O(n)个单元的四边形网格。
• 将Voronoi网格与其对偶的Delaunay三角剖分叠加，生成具有两组对顶点为90°角的四边形。
• 修改圆填充框架，省略某些边，生成可共形映射为正方形的风筝形四边形。
• 通过中点及夹角为60°的连线，将每个风筝形四边形细分为六个更小的四边形，确保任意角不超过120°，从而实现最优角度约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可同时实现具有O(n)个单元与单元形状质量保障的四边形网格？
• RQ2 在保持线性复杂度的前提下，能否生成具有两组对顶点为90°角的四边形网格？
• RQ3 能否通过圆填充方法生成具有最优共形映射性质与线性复杂度的风筝形四边形？
• RQ4 任何四边形网格中可实现的最小最大角的理论下限是多少？该下限能否通过算法实现？
• RQ5 圆填充方法能否扩展以同时实现多种质量保证，如有界长宽比与角度约束？

主要发现

• 圆填充中切点的Voronoi图可形成具有O(n)个单元且保证线性复杂度的四边形网格。
• 将Voronoi网格与其中Delaunay对偶叠加后，可生成具有两组对顶点为90°角的四边形，确保所有顶点共圆。
• 经修改的圆填充方法可生成风筝形四边形，每类四边形均可共形映射为正方形，从而优化交叉比。
• 任一风筝形四边形均可被细分为六个四边形，且任意角不超过120°，该角度上限对某些多边形区域为最优。
• 该方法生成具有O(n)个四边形且最大角不超过120°的网格时，时间复杂度为O(n log n)。
• 理论下界表明，某些区域至少需要一个角度为120°的四边形，因此该角度上限为紧致且最优。