[论文解读] Quadrupole Insulator without Corner States in the Energy Spectrum

Yu-Liang Tao, Jiong-Hao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2023

Topological Materials and Phenomena被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型的二维四极矩绝缘体相，其具有非零四极矩，但在能谱中缺乏零能角态，尽管具有拓扑保护。关键发现是体-边对应关系的破缺：尽管角模在能谱中消失，它们却在纠缠谱中稳健出现，这是由于哈密顿量平坦化过程中边缘能隙闭合所致，表明对于高阶拓扑相，拓扑不变量主要在纠缠谱中体现。

ABSTRACT

The quadrupole insulator is a well-known instance of higher-order topological insulators in two dimensions, which possesses midgap corner states in both the energy spectrum and entanglement spectrum. Here, by constructing and exploring a model Hamiltonian under a staggered $\mathbb{Z}_2$ gauge field that respects momentum-glide reflection symmetries, we surprisingly find a quadrupole insulator that lacks zero-energy corner modes in its energy spectrum, despite possessing a nonzero quadrupole moment. Remarkably, the existence of midgap corner modes is found in the entanglement spectrum. Since these midgap states cannot be continuously eliminated, the quadrupole insulator cannot be continuously transformed into a trivial topological insulator, thereby confirming its topological nature. We show that the breakdown of the correspondence between the energy spectrum and entanglement spectrum occurs due to the closure of the edge energy gap when the Hamiltonian is flattened. Finally, we present a model that demonstrates an insulator with corner modes in the energy spectrum even in the absence of the quadrupole moment. In this phase, the entanglement spectrum does not display any midgap states. The results suggest that the bulk-edge correspondence of quadrupole insulators generally manifests in the entanglement spectrum rather than the energy spectrum.

研究动机与目标

• 研究在对称性保护条件下，高阶拓扑绝缘体中角态的鲁棒性。
• 探讨具有非平凡拓扑不变量的四极矩绝缘体中能谱与纠缠谱之间的关系。
• 识别能谱与纠缠谱之间传统对应关系在拓扑相中破缺的条件。
• 证明四极矩可在能谱中无边界态的情况下依然存在，挑战了角态出现的标准预期。
• 阐明哈密顿量平坦化过程中边缘能隙闭合的作用及其对不同谱中拓扑模出现的影响。

提出的方法

• 构建一个具有交替Z₂规范场的二维紧束缚模型，以保持动量镜像反射对称性。
• 在动量空间中使用泡利矩阵τ和σ描述亚晶格和轨道自由度的布洛赫哈密顿量。
• 通过威尔逊圈形式化方法计算四极矩qxy，以识别拓扑相。
• 在开放边界条件下分析能谱，以检测零能角模。
• 通过从四分之一系统分区的单粒子关联矩阵CA导出的约化密度矩阵ρA计算纠缠谱。
• 建立纠缠谱与平坦化哈密顿量H_flat = ½ - P_occ的能谱之间的一一对应关系，其中P_occ是占据态的投影算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种四极矩绝缘体，其四极矩非零，但在能谱中无零能角态？
• RQ2 为何即使在能谱中不存在，纠缠谱中仍会出现边界态？
• RQ3 哈密顿量平坦化过程中边缘能隙闭合在破坏能谱与纠缠谱对应关系中起什么作用？
• RQ4 当能谱不反映拓扑不变量时，纠缠谱如何体现这些不变量？
• RQ5 是否存在一种拓扑相，其在能谱中无角模但在纠缠谱中有角模？这对体-边对应关系有何含义？

主要发现

• 识别出一种四极矩绝缘体相，其四极矩qxy = 0.5，确认其拓扑性质，尽管能谱中无零能角模。
• 边界态在纠缠谱中稳健出现，表明拓扑不变量编码于纠缠结构中，而非能谱中。
• 对应关系的破缺源于哈密顿量平坦化过程中边缘能隙的闭合，这使得角模在能谱中消失，而体四极矩保持不变。
• 证明纠缠谱可直接反映平坦化哈密顿量的能谱，通过关系式H_flat^T = ½ - C_A建立一一对应。
• 在四极矩为零的互补模型中，角模出现在能谱中但缺失于纠缠谱中，证实了谱特征的不对称性。
• 结果表明，对于高阶拓扑绝缘体，纠缠谱是拓扑序更可靠的指标，尤其在边缘能隙闭合时。