[论文解读] Qualitative analysis of dynamic equations on time scales

Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 14

一句话总结

本文通过一致收敛和Weierstrass M判别法，建立了时间尺度上动态方程的Picard-Lindel"of定理，并证明了$\epsilon$-近似解的存在性。研究证明，唯一性并不需要Lipschitz条件，并表明延迟动态方程的分段常数参数近似中，指数稳定性得以保持。

ABSTRACT

In this article, we establish the Picard-Lindelof theorem and approximating results for dynamic equations on time scale. We present a simple proof for the existence and uniqueness of the solution. The proof is produced by using convergence and Weierstrass M-test. Furthermore, we show that the Lispchitz condition is not necessary for uniqueness. The existence of epsilon-approximate solution is established under suitable assumptions. Moreover, we study the approximate solution of the dynamic equation with delay by studying the solution of the corresponding dynamic equation with piecewise constant argument. We show that the exponential stability is preserved in such approximations.

研究动机与目标

• 通过rd-连续性和一致收敛性，建立时间尺度上动态方程的Picard-Lindel"of定理。
• 证明解的唯一性并不需要Lipschitz条件。
• 在适当假设下，证明$\epsilon$-近似解的存在性。
• 通过分段常数参数模型，分析具有时滞的半线性动态方程的近似解。
• 证明原始系统中指数稳定性在近似过程中得以保持。

提出的方法

• 使用Weierstrass M判别法，证明Picard迭代的一致收敛性，以证明解的存在性。
• 在时间尺度上应用delta导数和delta积分框架，定义动态方程。
• 引入分段常数参数近似方法，以建模延迟动态方程。
• 运用Gronwall-Bellman型不等式，界定精确解与近似解之间的误差。
• 利用时间尺度上的指数函数$e_p(t,t_0)$分析稳定性特性。
• 将$\gamma_h(t)$定义为一个离散化算子，以近似系统中的延迟状态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖Lipschitz条件的前提下，为时间尺度上的动态方程建立Picard-Lindel"of定理？
• RQ2 在何种条件下，时间尺度上的动态方程存在$\epsilon$-近似解？
• RQ3 当使用分段常数参数方法近似延迟动态方程时，指数稳定性如何保持？
• RQ4 Picard迭代的收敛性与时间尺度上解的存在性之间存在何种关系？
• RQ5 延迟动态方程的定性行为能否通过分段常数参数系统被有效近似？

主要发现

• 通过一致收敛和Weierstrass M判别法，无需Lipschitz条件，证明了时间尺度上动态方程的Picard-Lindel"of定理。
• 在适当假设下，包括函数$f$的rd-连续性和有界性，建立了$\epsilon$-近似解的存在性。
• 通过分段常数参数模型对延迟动态方程进行近似时，零解的指数稳定性得以保持。
• 精确解$y(\phi)(t)$与近似解$z_h(t)$之间的误差被一个包含$v(0)$、最大偏差$w(y,h,2\tau)$以及涉及$M^*$的积分项的表达式所界定，且该界呈指数衰减。
• 当$h \to 0$时，近似误差趋于零，且当$\lambda_0 = \lambda - e^{\lambda(2h+\tau)}L > 0$时，系统保持指数稳定。
• 证明表明$\|E_h(t)\| \leq v(t) \leq \left(v(0) + \cdots \right) e_{-\lambda_0}(t,0)$，意味着近似解具有渐近稳定性。