[论文解读] Qualitative Analysis of Polycycles in Filippov Systems

Kamila da S. Andrade, Otávio M. L. Gomide+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文将多循环（polycycles）——由奇点和正则轨道构成的闭合曲线——的概念扩展至Filippov系统，其中不连续性发生在切换流形上。本文提出一种方法以分析此类多循环的展开，并将其应用于推导分岔图，揭示了在分段光滑动力系统中最小集附近结构变化的机制。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned about the qualitative behaviour of planar Filippov systems around some typical minimal sets, namely, polycycles. In the smooth context, a polycycle is a simple closed curve composed by a collection of singularities and regular orbits, inducing a first return map. Here, this concept is extended to Filippov systems by allowing typical singularities lying on the switching manifold. Our main goal consists in developing a method to investigate the unfolding of polycycles in Filippov systems. In addition, we applied this method to describe bifurcation diagrams of Filippov systems around certain polycycles.

研究动机与目标

• 将经典多循环概念从光滑动力系统推广至Filippov系统，其中奇点可能位于切换流形上。
• 为分析非光滑平面系统中多循环的展开，开发一种系统化方法。
• 将该方法应用于构建特定多循环周围的分岔图，揭示系统动力学的转变。

提出的方法

• 将多循环的定义扩展至包含Filippov系统中位于切换流形上的典型奇点。
• 采用适用于Filippov系统的首次返回映射概念，分析多循环附近的动力学行为。
• 应用分段光滑动力系统理论中的技术，研究多循环的结构稳定性和展开。
• 通过跟踪参数变化下多循环的拓扑结构变化，构建分岔图。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将多循环的概念推广至具有切换流形上不连续性的Filippov系统？
• RQ2 在Filippov系统中，多循环在小参数扰动下通过何种机制展开？
• RQ3 在非光滑系统中，分岔如何在多循环附近的动力学中表现？

主要发现

• 本文通过将位于切换流形上的奇点纳入考虑，成功将多循环概念推广至Filippov系统，从而实现了对不连续动力系统中最小集的分析。
• 提出一种新颖方法以研究多循环的展开，为分析分段光滑系统中的局部分岔提供了框架。
• 该方法使得能够构建详细的分岔图，以描述系统在多循环附近的动力学行为转变。
• 该方法揭示了不连续性诱导的分岔如何源于多循环的拓扑结构，为非光滑系统中的复杂动力学提供了深入见解。