[论文解读] Qualitative Behaviour of Solutions for the Two-Phase Navier-Stokes Equations with Surface Tension

Matthias Köhne, Jan Pruess+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过 $L_p$-框架和Hanzawa变换的直接映射法，在有界区域中建立了带表面张力的两相不可压缩Navier-Stokes方程的局部适定性与长期稳定性。证明了无奇点的全局解通过能量泛函和广义线性化稳定性原理收敛至平衡态，其集合构成一个 $(n+1)$-维流形。

ABSTRACT

The two-phase free boundary value problem for the isothermal Navier-Stokes system is studied for general bounded geometries in absence of phase transitions, external forces and boundary contacts. It is shown that the problem is well-posed in an Lp-setting, and that it generates a local semiflow on the induced phase manifold. If the phases are connected, the set of equilibria of the system forms a (n+1)-dimensional manifold, each equilibrium is stable, and it is shown that global solutions which do not develop singularities converge to an equilibrium as time goes to infinity. The latter is proved by means of the energy functional combined with the generalized principle of linearized stability.

研究动机与目标

• 在一般有界几何区域中建立带表面张力的两相Navier-Stokes系统的局部适定性。
• 证明该问题在由自由边界诱导的非线性相空间流形上生成局部半流。
• 当两相连通时，将平衡态集合表征为一个 $(n+1)$-维流形。
• 证明不产生奇点的全局解在 $t \to \infty$ 时收敛至某一平衡态。
• 通过能量泛函和广义线性化稳定性原理建立平衡态的稳定性。

提出的方法

• 通过Hanzawa变换的直接映射法处理无需拉格朗日坐标系的自由边界问题。
• 在 $L_p$-框架下分析线性化问题，以获得最大正则性估计。
• 利用实插值与摄动理论，建立 $W_p^{2+s}(\Omega\setminus\Gamma)$ 中解的高阶正则性。
• 应用广义线性化稳定性原理分析解的长期行为。
• 利用能量泛函证明全局解收敛至平衡态。
• 通过线性问题的细致分析，证明界面与解在 $t > 0$ 时即刻成为实解析函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般有界区域中，带表面张力的两相Navier-Stokes系统是否具有局部适定性？
• RQ2 该系统是否在诱导的相空间流形上生成局部半流？
• RQ3 平衡态集合的结构是什么？它们是否稳定？
• RQ4 不产生奇点的全局解在 $t \to \infty$ 时是否收敛至某一平衡态？
• RQ5 广义线性化稳定性原理是否可用于证明收敛至平衡态？

主要发现

• 在一般有界区域中，带表面张力的两相Navier-Stokes系统在 $L_p$-框架下具有局部适定性。
• 该问题在由自由边界诱导的非线性相空间流形上生成局部半流。
• 当两相连通时，平衡态集合构成一个 $(n+1)$-维流形，且每个平衡态均稳定。
• 不产生奇点的全局解在 $t \to \infty$ 时收敛至某一平衡态。
• 收敛性通过能量泛函与广义线性化稳定性原理的结合得以证明。
• 对于 $t > 0$，解与界面即刻成为实解析函数。