[论文解读] Qualitative properties of spatial epidemiological models

Romain Ducasse|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文分析了一个由抛物型偏微分方程控制的空间显式扩散SIR模型，以确定流行病传播的条件。研究建立了一个涉及传播率、恢复率和人口扩散系数的阈值准则，证明了降低个体活动性可能反而触发流行病——揭示了在异质空间环境中，移动性与疾病传播之间存在非单调关系。

ABSTRACT

We study the qualitative properties of a spatial diffusive heterogeneous SIR model, that appears in mathematical epidemiology to describe the spread of an infectious disease in a population. The model we consider consists in a system of parabolic PDEs. In the first part of the paper, we give a criterion that ensures whether or not an epidemic propagates in a given population. We show how the features of the disease and of the population (rates of infection and of recovery, localisation and diffusivity of individuals) influence the propagation of the epidemic. In particular, we prove that there are situations where "slowing down" the individuals can trigger an epidemic that would not propagate otherwise. In the second part of the paper, we show how the spatial diffusive SIR model qualitatively differs from the usual, purely temporal, SIR model.

研究动机与目标

• 确定在具有抛物型PDE的空间异质扩散SIR模型中，流行病传播的充分条件。
• 研究疾病参数（传播率、恢复率）和人口移动性（扩散系数）如何影响流行病结果。
• 识别在何种条件下，减缓个体移动反而会引发原本不会发生的流行病。
• 比较空间PDE模型与经典时间型ODE SIR模型的定性行为。
• 建立在各种初始条件和扩散条件下解的长时间行为与收敛性质。

提出的方法

• 为易感者（S）和感染者（I）人口构建一组带有扩散项（d_S, d_I）和非线性传播率（αSI）的抛物型PDE系统。
• 施加诺伊曼边界条件，以模拟个体在区域边界处的反射布朗运动。
• 应用抛物型比较原理和正则性估计，以控制解的有界性和收敛速率。
• 利用谱理论（拉普拉斯算子的第一非零特征值ρ₁）推导梯度项的能量型估计。
• 采用李雅普诺夫型泛函和积分恒等式，分析长时间行为和渐近极限。
• 在初始感染密度趋近于零的极限下进行分析，将空间PDE模型与经典ODE SIR模型进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界区域、诺伊曼边界条件下，空间异质扩散SIR模型中，流行病在何种条件下会传播？
• RQ2 易感者和感染者的人口扩散系数如何影响流行病传播的阈值？
• RQ3 降低个体移动性（即减小扩散系数）是否可能引发原本不会传播的流行病？
• RQ4 在长时间动力学方面，空间PDE模型与经典时间型ODE SIR模型在定性上有哪些不同？
• RQ5 在初始感染较小时，空间模型中易感者人口的渐近行为是什么？其与ODE情形相比如何？

主要发现

• 当基本再生数 $ R_0 = \frac{\bar{\rho} \tilde{S}_0}{\bar{\rho} \tilde{S}_0 + \tilde{\rho} \tilde{I}_0} > 1 $ 时，流行病会传播，其中 $ \bar{\rho} $ 为平均传播率，$ \tilde{S}_0, \tilde{I}_0 $ 为初始人口密度。
• 存在某些参数区域，使得降低个体的扩散系数 $ d_S $ 和 $ d_I $ 会触发原本在更活跃人群中不会传播的流行病。
• 当初始感染较小时，空间PDE模型中易感者人口的长时间极限收敛到与对应ODE模型一致的值。
• 当初始感染强度趋于零时，空间中梯度项 $ |\nabla S|^2 $ 和 $ |\nabla I|^2 $ 均一致趋于零，表明空间趋于均质化。
• PDE模型中易感者人口的渐近值满足 $ f(S_\text{infty}) = f(S_0) + \frac{\nu}{\nu} \fint I_0 $，与ODE模型在初始感染趋近于零时的长期行为一致。
• 流行病传播的阈值在扩散系数上并非单调：降低移动性可能提高有效再生数，从而促成传播。