[论文解读] Quality Up in Polynomial Homotopy Continuation by Multithreaded Path Tracking

Jan Verschelde, Genady Yoffe|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于多项式同伦连续的多线程路径追踪方法，通过利用多核并行计算来抵消四倍双精度算术的计算开销，从而提升解的质量。通过在多项式求值和牛顿迭代中利用并行性，该方法实现了显著的加速与质量提升——在8核环境下对20次多项式实现最高达7.57倍的加速，使高精度解成为可能，这对奇点和病态系统至关重要。

ABSTRACT

Speedup measures how much faster we can solve the same problem using many cores. If we can afford to keep the execution time fixed, then quality up measures how much better the solution will be computed using many cores. In this paper we describe our multithreaded implementation to track one solution path defined by a polynomial homotopy. Limiting quality to accuracy and confusing accuracy with precision, we strive to offset the cost of multiprecision arithmetic running multithreaded code on many cores.

研究动机与目标

• 解决多项式同伦连续中高精度算术带来的高计算成本，特别是针对高精度解的情况。
• 通过利用多核处理器来补偿四倍双精度算术的性能开销，从而提升解的质量。
• 优化多项式求值占主导计算量的系统中的路径追踪，尤其适用于高次或病态问题。
• 通过去奇异化方法高效计算孤立奇点，该方法需要高精度导数和多线程支持。
• 确定在何种维度和次数下，多线程能实现最优加速与质量提升。

提出的方法

• 在共享内存多核系统上使用pthreads实现多线程路径追踪器，以并行化多项式求值和牛顿迭代阶段。
• 使用四倍双精度算术（QD-2.3.9）实现高精度解，将其视为可通过并行性加以抵消的开销。
• 应用算法微分技术，高效计算雅可比矩阵所需的所有导数，降低导数计算成本。
• 通过递归单项式乘积计算（Speelpenning的示例）优化多项式求值，提升稀疏多项式求值速度。
• 将延续参数t视为特殊变量，以减少开销，相比将其视为普通变量，性能提升达3倍。
• 使用线性外推法估计质量提升因子，定义为在固定执行时间内，使用p个核心时正确十进制位数与单核时的比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多项式同伦连续中，使用多核计算高精度解时，可实现的质量提升因子是多少？
• RQ2 在何种问题维度和多项式次数下，多线程在四倍双精度算术的路径追踪中能实现最优加速？
• RQ3 多线程多项式求值的性能与传统单线程求值相比如何，特别是在高次多项式情况下？
• RQ4 多线程能否有效减轻牛顿法路径追踪中高精度算术的计算负担？
• RQ5 在多线程环境下，优化多项式与导数求值在多大程度上提升了整体路径追踪性能？

主要发现

• 对于40维系统中20次多项式，该多线程路径追踪器在8核上实现了7.567倍的加速，表明具有良好的可扩展性。
• 在20维系统中10次多项式的情况下，8个线程实现了7.327倍的加速，表明高次多项式从并行化中获益更多。
• 新多项式求值算法在20×20系统中对5次多项式将执行时间减少了8.59倍，扣除t处理开销后仍实现2.85倍的纯加速。
• 在40×40系统中20次多项式的情况下，新求值方法相比旧方法实现了15.56倍的加速，扣除t处理成本后仍实现5.19倍的纯加速。
• 质量提升因子估计为与核心数呈线性关系，在理想条件下，p个核心可实现p倍的质量提升。
• 随着多项式次数的增加，获得良好加速的临界维度也随之上升，因为在低次多项式系统中，高斯消去法的开销更为显著。