[论文解读] Quantifying knowledge with a new calculus for belief functions - a generalization of probability theory

Timber Kerkvliet, Ronald Meester|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文提出了一种信念函数的新演算，通过用更具灵活性且基于认识论的框架替代柯尔莫哥洛夫的可加性公理，从而对概率论进行推广。该理论摒弃了戴姆普斯特的组合规则，转而提出一种基于投注的解释，采用宽松的一致性约束，能够在法医学和赌博情境中更好地建模无知与非加性不确定性。

ABSTRACT

We first show that there are practical situations in for instance forensic and gambling settings, in which applying classical probability theory, that is, based on the axioms of Kolmogorov, is problematic. We then introduce and discuss Shafer belief functions. Technically, Shafer belief functions generalize probability distributions. Philosophically, they pertain to individual or shared knowledge of facts, rather than to facts themselves, and therefore can be interpreted as generalizing epistemic probability, that is, probability theory interpreted epistemologically. Belief functions are more flexible and better suited to deal with certain types of uncertainty than classical probability distributions. We develop a new calculus for belief functions which does not use the much criticized Dempster's rule of combination, by generalizing the classical notions of conditioning and independence in a natural and uncontroversial way. Using this calculus, we explain our rejection of Dempster's rule in detail. We apply the new theory to a number of examples, including a gambling example and an example in a forensic setting. We prove a law of large numbers for belief functions and offer a betting interpretation similar to the Dutch Book Theorem for probability distributions.

研究动机与目标

• 为解决经典概率论在建模认识论不确定性方面的局限性，特别是在法律和法医学情境中的应用。
• 解决经典概率论无法表达‘缺乏信念’与‘不相信’之间区别的问题。
• 为在仅掌握群体层面信息而无需假设均匀先验的情况下建模无知，提供一个正式框架。
• 开发一种一致的、非加性的信念函数演算，避免使用有争议的戴姆普斯特组合规则。
• 建立一种类似于荷兰赌定理的信念函数投注解释，基于不确定性下的理性决策。

提出的方法

• 用基于部分知识集合 S ⊆ Ω 下保证收益的新型一致性条件（B2*）替代柯尔莫哥洛夫的可加性公理。
• 将信念函数定义为满足 Bel(Ω) = 1 且在子集 S 上满足新主导性条件（B2*）的函数 Bel: 2^Ω → [0,1]。
• 使用基本信任分配（质量函数）m(S) 表示对特定子集 S 的信念程度，其中 Bel(A) = ∑_{S⊆A} m(S)。
• 证明新一致性条件（B2*）与标准信念函数公理等价，包括不等式 Bel(A ∪ B) + Bel(A ∩ B) ≥ Bel(A) + Bel(B)。
• 将理论应用于两个关键案例：岛屿问题（建模刑事归因中的无知）和具有不可预测硬币翻转的赌博情景。
• 推导出信念函数的大数定律，并证明在部分知识下理性投注行为恰好对应于信念函数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种信念函数演算，避免经典概率论在建模无知与非加性不确定性方面的缺陷？
• RQ2 在定量不确定性框架中，如何以数学上严谨的方式区分‘缺乏信念’与‘不相信’？
• RQ3 是否存在一种一致的投注解释用于信念函数，可推广荷兰赌定理，且不依赖戴姆普斯特规则？
• RQ4 当不存在概率分布时（如在不可预测的赌博机制中），该新演算如何处理此类情形？
• RQ5 当建模无信息先验（如在岛屿问题中）时，新框架是否与经典概率论得出不同结果？

主要发现

• 新演算用基于部分知识下保证收益的条件（B2*）替代柯尔莫哥洛夫的可加性，允许非加性信念函数。
• 岛屿问题表明，均匀先验并不等同于无信息先验；新框架正确地将无知建模为 Bel(Ω) = 1 且对所有 ω 有 Bel({ω}) = 0。
• 在涉及可能被操纵的硬币的赌博情景中，即使操纵过程不存在概率分布，该理论仍允许理性投注策略。
• 建立了信念函数的大数定律，表明重复抽样会使信念值收敛至真实质量分配。
• 投注解释表明，遵循新一致性规则的理性代理人恰好是按信念函数分配信念的个体，从而验证该框架作为规范性模型的有效性。
• 通过证明戴姆普斯特规则违反新一致性条件（B2*），其被拒绝具有充分依据，因为该规则在部分知识下可能导致非理性的信念更新。